Calculo de valores propios

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LOS AUTOVALORES DE UNA MATRIZ

JUAN MANUEL PALOMAR ANGUAS DNI: 07536788-X Domicilio: C/ Juan de Juanes, nº 1, Esc. Izq. 8º C C. P. 28933 Móstoles, MADRID Teléfono: 91 614 25 57 E-mail: jmplmr@hotmail.com Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Alcalá de Henares

Resumen En la presente exposición se van a describir todas aquellas ideas que aun siguen envigor para resolver el cálculo de los autovalores de una matriz, contribuyendo en el desarrollo de potentes algoritmos numéricos. Mediante la teoría de autovalores se posibilita la diagonalización de una matriz o la reducción a la forma de Jordan cuando la diagonalización no es posible. Dicho procedimiento facilita el análisis de un endomorfismo eligiendo de entre las matrices semejantes que lorepresentan, la más sencilla. Algunas aplicaciones del cálculo de los autovalores se refieren a la resolución de ecuaciones diferenciales. Sistemas lineales de ecuaciones en diferencias y potencias de una matriz. Comportamiento a largo plazo de las soluciones: estabilidad, estabilidad asintótica e inestabilidad. Matrices estocásticas y cadenas de Markov: estabilidad y vectores estacionarios Análisisde series temporales. Estudio de los sistemas dinámicos. Tales tipos de aplicaciones y muchas otras más, hacen del problema de autovalores una técnica básica con aplicación en todas las ramas científicas, entre ellas la economía.
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Palabras clave: autovalores, autovectores, QR, Schur, Jacobi, Hessenberg, Lanczos, Arnoldi, Cuppen, Krylov, Rustishauser

1 Introducción

El estado actual delos métodos para resolver el cálculo de los autovalores de una matriz es el resultado continuado de pequeños pasos. En el presente escrito se van a describir todas aquellas ideas que aun siguen en vigor contribuyendo en el desarrollo de potentes algoritmos numéricos, fruto de la investigación del problema durante el siglo XX.

El problema a tratar es el de las soluciones no triviales de laecuación Ax=λx, donde A representa una matriz cuadrada nxn, λ es un autovalor y x un autovector asociado a λ

Teóricamente, el problema es equivalente a resolver: det(A-λI)=0 dando lugar al polinomio característico cuyas raíces son los autovalores buscados. Tal estrategia sólo puede seguirse en casos muy especiales, pues dicho método es muy inestable; pequeños cambios en los coeficientes del polinomiodan lugar a grandes cambios en las λi.

Dicho planteamiento sirve, sin embargo, para darnos cuenta de que, al contrario que ocurría con la resolución de sistemas lineales, todo método utilizado para hallar los autovalores de una matriz general debe ser de naturaleza iterativa, ya que el teorema de Abel-Ruffini nos demuestra la imposibilidad de hallar las raíces de un polinomio general de gradomayor que 4 mediante un algoritmo en un número finito de pasos.

Esto no quiere decir que no podamos dar respuesta al problema, pues se han desarrollado numerosos algoritmos numéricos que calculan con gran aproximación los autovalores y autovectores cuya velocidad de convergencia es rápida.

La elección de un algoritmo u otro, se realiza considerando aspectos sobre la estructura y propiedades dela matriz A (si es simétrica, real, Hermitiana, hemisimétrica, unitaria, densa, rala,) y según los resultados que busquemos (autovalores de mayor

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módulo, o los de menor módulo, la parte real de los autovalores negativos, si deseamos también los autovectores...).

Una vez abordado el problema inicial, las soluciones numéricas halladas arrojan luz sobre problemas más generales: Ax=λBx, yel problema de autovalores cuadrático: Ax+λBx+λ2Cx=0.

2 Formas canónicas.

Una manera de abordar el problema es intentar reducirlo a otro problema equivalente en el cual su estructura es más simple. Así, mediante transformaciones, la matriz A puede reducirse a una forma canónica.

Toda matriz real y simétrica A es semejante a una matriz diagonal D y la matriz de paso es ortogonal...