Vectores Y Valores Propios
































Introducción:

En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar \lambda recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eigenvalor
Elobjetivo principal de este trabajo es mostrar las distintas aplicaciones que tienen los vectores y valores propios en los problemas de nuestra vida cotidiana, además de ello es explicar una aplicación de la vida cotidiana donde ocupemos está herramienta tan importante, dando a conocer detalladamente la resolución de nuestro problema.





























Valores y Vectores Propios:

Parasaber cuan importantes son los valores y vectores propios primero se necesita saber que son.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección y El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Se definen:Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v≠0 es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que

Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplodiferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.




























VALORESPROPIOS Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
Definición:

A esta ecuación se la denomina ecuación característica de A.
Ejemplo:

Observaciones:
Si A es una matriz de orden nxn entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Solución:
:







Aplicaciones de vectores y valores:

Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones.
Se mencionarán algunas de ellas:
ESTADÍSTICA:Análisis de conglomerados (Cluster)

Como parte del análisis, se calculan los valores propios de la matriz de varianza covarianza, lo que permite posteriormente calcular las distancias.
Análisis de componentes principales:


Los valores propios permiten decidir qué variables son las realmente importantes y posteriormente realizar agrupamientos

Análisis de factores (Factor Análisis)


ECUACIONESDIFERENCIALES:
Se usan para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

FISICA:
a) En la mecánica cuántica, la base es los valores y vectores propios. Los datos se representan por operadores hermitianos Q. En un cierto estado, se encuentra el valor propio a, y el estado del sistema será la proyección del estado sobre el vector propio asociado con a.

b) Los péndulos: hayuna Buena demostración con botellas oscilantes, que depende de valores propios. Esto puede encontrarse bajo el tema “péndulos acoplados”.

c) En rotación de cuerpos rígidos, si importar lo complicado que un objeto parece, siempre hay al menos un conjunto de tres direcciones ortogonales alrededor en las que el cuerpo puede rotar sin precesión, y para su cálculo se usan vectores propios.

d)TELECOMUNICACIONES: El llamado algoritmo de “formación de rayos”, en el caso de antenas múltiples, requiere el cálculo de vectores propios.


DINAMICA POBLACIONAL:
Se puede modelar la dinámica de una población en forma de una matriz actuando sobre vectores, y analizar en las iteraciones lo que ocurre. Para ello se utilizan vectores propios.

OTRAS APLICACIONES:
Ecuación de Schrödinger

Orbitales...