calculo departamento de ingenieria matematica

CALCULO I

520129
Primer Semestre 2014

CAPITULO 3
Cálculo Diferencial
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
1Cálculo Diferencial

Teorema

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y

derivable en el intervalo abierto (a, b).
′

i) Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f escreciente en [a, b].
′

i) Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

El siguiente resultado se origina de la condición de extremo de una
función en un intervalo y puntocrítico.

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Cálculo Diferencial
Teorema (Teorema de Rolle)

Sea f una función continua en un

intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si
f (a) = f (b)
entoncesdebe existir al menos un número real x0 en (a, b) tal que
′
f (x0 ) = 0.

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Cálculo Diferencial
De una ligera variación el teorema de Rolle, se obtiene la siguiente
propiedad:
Teorema(Teorema del Valor Medio)

Si f es una función continua en

un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b),
entonces existe un número real x0 en (a, b) tal que
f (b) − f (a)f (x0 ) =
b−a
′

Definición

Sea f una función que es derivable en un número real x0 .

i) La gráfica de f tiene concavidad hacia arriba en el punto
P (x0 , f (x0 )) si existe un intervaloabierto (a, b) que contiene a x0 ,
tal que en (a, b) la gráfica de f está por encima de la recta tangente
en P .

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Cálculo Diferencial

ii) La gráfica de f tiene concavidad hacia abajo en elpunto
P (x0 , f (x0 )) si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a x0 ,
tal que en (a, b) la gráfica de f está por debajo de la recta tangente
en P .

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Cálculo Diferencial

TeoremaSea una función derivable en un intervalo abierto que
′′

contiene a x0 , tal que f (x0 ) existe.
′′

i) Si f (x0 ) > 0, entonces la gráfica tiene concavidad hacia arriba en
P (x0 , f (x0...