calculo diferencial resumen parte 2

3 Aplicación de la derivada
3.1Extremos en un inventario
Entender la definición de extremos de una función en un intervalo.
Entender la definición de extremos relativos de una función en un intervalo abierto.
Encontrar los extremos en un intervalo cerrado.
Extremos de una función
En el cálculo, se dedica mucho esfuerzo para determinar el comportamiento de una función f sobre un intervalof. ¿f tiene un valor máximo en f? ¿Tiene un valor mínimo? ¿Dónde es creciente la función? ¿Dónde es decreciente? En este capítulo se verá como las derivadas se utilizan para responder estas preguntas. También porque los planteamientos anteriores son importantes en las aplicaciones de la vida real.
Definición de extremos
1. F(c) es el mínimo de f en I si f(c) ≤ f(c) para toda x en I.
2. F(c) esel máximo de f en I si f(c) ≥ f(c) para toda la x en I.
Los mínimos y máximos de una función en un intervalo son los valores extremos o simplemente extremos, de la función en el intervalo.
El mínimo y el máximo de una función en un intervalo reciben el nombre de mínimo absoluto y máximo absoluto en el intervalo.
TEOREMA 3.1 el teorema del valor extremo
Si f es continua en el intervalo cerrado[a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo.

Extremos relativos y puntos o números críticos
Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando lafunción es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema.
Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo.
Si f (c) es el valor máximo de f en I entonces se dice que f alcanza su valor máximo en x= c. En la figura, el punto (c, f (c)) es el puntomás alto de la gráfica de la función en I= (a,b)
En la figura observamos la gráfica de una función f tal que f (e) es el valor máximo absoluto de f. El valor f (c) no es el máximo absoluto, sin embargo podemos apreciar un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) es el valor máximo absoluto de la función en ese intervalo. Este valor es un valor característico de la función y nosreferiremos a él como un valor máximo relativo o local de la función. De manera similar hablaremos de un valor mínimo relativo) f (d si este valor es el mínimo que tiene) f (x) para x cercanos a d. A continuación damos la definición formal.
Definición.- Sea c un punto en el dominio de f. Si f ‘(c) ‘ 0 o) f ‘(c no está definida entonces c se denomina un número o valor crítico y) (c, f (c un puntocrítico).

Definición de extremos en un intervalo cerrado
Pero como los extremos relativos son puntos críticos entonces ampliaremos nuestro radio de búsqueda a los extremos del intervalo y a los valores críticos: sólo en estos puntos se alcanza el valor máximo y el valor mínimo de la función. Para localizarlo sólo tenemos que evaluar la función en estos candidatos y el valor máximo de laevaluación de la f será el valor máximo de la función, similar análisis se hace con el mínimo. A continuación establecemos esta estrategia por pasos:
Estrategia para encontrar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]:
1.- Se encuentran los puntos críticos de f en (a,b).
2.- Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b).
3.- Se evalúa f en cada punto extremo de [a,b].
4.- El más pequeño de estos valores es el mínimo. El más grande es el máximo.



3.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio
Comprender el uso del teorema de Rolle.
Comprender el uso del teorema del valor medio.

Teorema de Rolle
En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones...