resumen calculo 2

DERIVADAS PARCIALES

Tenemos que una funci´
on depende de los par´ametros x e y, (f = f (x, y)), ´estos a su vez dependen de
otros dos par´
ametros u y v, x = x(u, v), y = y(u, v). Por l´ogica f depender´a de u y v, f = (u, v).
Ya que f depende de x e y tendremos:
df =

∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y

Pero x e y son funciones de u y v, por ´esto:
∂f
∂x

∂x
∂x
∂f
∂y
du +
dv +
du +∂u
∂v
∂y
∂u
∂f ∂x ∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
+
du +
+
df =
∂x ∂u ∂y ∂u
∂x ∂v
∂y

df =

∂y
dv
∂v
∂y
dv
∂v

Por l´
ogica f es una funci´
on de u y v, por lo que:
df =

∂f
∂f
du +
dv
∂u
∂v

Igualando estas expresiones tenemos fin´
almente que:
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
Para obtener la segunda derivada con respecto a unavariable final (u y v en este caso) tendremos lo
siguiente:
fuu =

∂(fu )
∂
∂(xu )
∂(fy )
∂(yu )
∂(fx )
=
+ fx
+ yu
+ fy
fx xu + fy yu = xu
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂(fx )
∂(fy )
fuu = xu
+ fx xuu + yu
+ fy yuu
∂u
∂u

Si f = f (x, y), su derivada seguir´
a dependiendo de x e y, por lo que:
∂(fx )
∂(fx ) ∂(fx )
=
xu
yu = fxx xu + fxy yu
∂u
∂x
∂y
∂(fx )
= fxx xv + fxyyv
∂v
Teniendo fin´
almente:
fuu = xu (fxx xu + fxy yu ) + fx xuu + yu (fxx xv + fxy yv ) + fy yuu

1

FUNCIONES IMPL´
ICITAS
Si tenemos una ecuaci´
on del tipo z = f (x, y) tal como z = x2 + 3y se dice que la funci´on z est´a dada
expl´ıcitamente. Si z est´
a expresada de una forma F (x, y, z) = 0 tal como cos(xy) + ln(z/y) − z 2 − 3 = 0 y
cuesta despejar z en funci´
on de x e y sedice que z(x, y) est´a expresada impl´ıcitamente como funci´on de x e
y.

Si tenemos F (x, y, z) = 0, su diferencial vendr´a dado por la siguiente expresi´on:
df =

∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

Pero F (x, y, z) = 0 = cte, por lo que dF = 0, despejando podremos encontrar el diferencial de z.
∂F
∂F
∂F
dx +
dy +
dz = 0
∂x
∂y
∂z
∂F
∂x
dz = − ∂F
dx −
∂z

∂F
∂y
∂F∂z

dy

Por otro lado z = z(x, y), por lo que:
dz =

∂z
∂z
dx +
dy
∂x
∂y

Igualando tendremos:
∂F
∂z
∂x
= − ∂F
∂x
∂z
∂F

∂z
∂y
= − ∂F
∂y
∂z
O escrito de una manera mas compacta:
Fx
Fz
Fx
zy = −
Fz

zx = −

As´ı mismo, si nos piden encontrar xy , nos indica que x es una funci´on de y y del par´ametro que falta (z
en este caso). Por lo que de una manera an´
alogatendremos:
Fy
Fx
Fz
xz = −
Fx

xy = −

2

PLANOS TANGENTES
Si tenemos una funci´
on z = z(x, y), el plano tangente a z en el punto (x0 , y0 , z0 ) est´a dado por la siguiente ecuaci´
on:
z − z0 = (x − x0 )

∂z(x, y)
∂x

(x0 ,y0 ,z0 )

+ (y − y0 )

∂z(x, y)
∂y

(x0 ,y0 ,z0 )

Si nos entregan expl´ıcitamente z en funci´on de x e y simplemente se deriva para encontrarlas expresiones
zx y zy . Si nos entregan z implic´ıtamente por la ecuaci´on F (x, y, z) = 0, se ocupa la misma ecuaci´on y las
derivadas se obtienen por las ecuaciones vistas en la secci´on anterior (zx = −Fx /Fz y zy = −Fy /Fz ).

3

DERIVADAS PARCIALES
Ver las siguientes p´
aginas:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html
http ://www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr34 .html
http : //www.uantof.cl/f acultades/csbasicas/M atematicas/academicos/emartinez/calculo3/gradiente/gradiente.html

4

´
MAXIMOS
Y M´
INIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
Para que una funci´
on tenga un m´
aximo o un m´ınimo se requiere que todas sus derivadas s´ean 0. Resolver tal sistema nos entregar´
a las coordenadas de los puntos cr´ıticos de lafunci´on. Para saber si ´estos
puntos son m´
aximos, m´ınimos o puntos sillas debemos usar el m´etodo del ”Determinante”
Det(x, y) = fxx fyy − fxy
Si el determinante evaluado en los puntos es menor que 0, aquellos puntos son puntos sillas. Si es mayor
que 0 puedne ser m´
aximos o m´ınimos. Para saber se analiza el signo de la segunda derivada con respecto a
x. Si fxx > 0, es un m´ınimo, si...