Calculo diferencial teoria

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RECTA TANGENTE
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .


Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto enla curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si representa una función f (no es el caso en elgráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en unsistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente 1. Esta recta no interviene en el
RECTA NORMAL
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal esla opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.



Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).


Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1

Teoremas de Rolle y de LaGrange
Teorema de Rolle
Michael Rolle(1652-1719)
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.

H) f es continua en [a,b]
f es derivable en (a,b)
f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dospuntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

Demostración:
f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].
Para todo x perteneciente a [a,b] m f'(x) = 0
Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.
=> (a,b) se comporta comoun entorno de x2.
Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)
f es derivable por hipótesis. (2)
De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos f'(x2)=0
Teorema de LaGrange o del valor medio
Joseph Louis LaGrange (1736 - 1813)
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] yderivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva,...
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