Teoría Calculo diferencial III

io

–M
Di
ferAI
en I-E
cia q
ua
ls c
´
`
Ampliacio de Matematiques

Equacions Diferencials

Mari Carme Leseduarte
Antoni Maga˜a
n
Ramon Quintanilla

–M
Di
ferAI
en I-E
cia q
ua
ls c
io

2
´
Index

io

–M
Di
ferAI
en I-E
cia q
ua
ls c
´
Index

´
Index

3

1 Generalitats sobre EDO’s

7

1.1 Equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Solucions de les equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Problema de Cauchy o de valors inicials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Exist`ncia i unicitat de solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e
1.5 EDO d’una fam´ o feix de corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18ılia
1.6 Traject`ries ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
1.6.1

Interpretaci´ geom`trica de y = f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
e

1.6.2

Traject`ries ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
o

2 Equacions de primer ordre

29

2.1 Equacions immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 29
2.2 Equacions amb variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1

Equacions reductibles a variables separables . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Equacions homog`nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
e
2.4 Equacions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5Factor integrant. Equacions reductibles a exactes . . . . . . . . . . . . . 45

´
Index

io

4

2.6 Equacions lineals de primer ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Resoluci´ per factors d’integraci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
o
o

2.6.2

Sobre la soluci´ general de les equacions lineals . . . . . . . . . . 54
o

2.6.3

Resoluci´ pel m`tode devariaci´ de les constants . . . . . . . . 55
o
e
o

–M
Di
ferAI
en I-E
cia q
ua
ls c

2.6.1

2.7 Equacions reductibles a equacions de primer ordre . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1

Cas 1: no apareix la y (la variable dependent) . . . . . . . . . . 57

2.7.2

Cas 2: no apareix la x (la variable independent) . . . . . . . . . 58

3 Aplicacions

61

3.1 Creixement depoblacions. Desintegraci´ de subst`ncies . . . . . . . . 61
o
a
3.1.1

Creixement de poblacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.2

Desintegraci´ de subst`ncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
o
a

3.2 Buidat de dip`sits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
o

3.3 Escalfament i refredament . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Mescles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Problemes din`mics amb massa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
a
3.6 Fugida de la terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Equacions lineals d’ordre n

73

4.1 Equacions diferencialslineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1

Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2

Sobre la soluci´ general de l’equaci´ lineal . . . . . . . . . . . . . 75
o
o

4.2 Depend`ncia i independ`ncia lineal de funcions . . . . . . . . . . . . . . 77
e
e
4.3 Solucions de les equacions lineals . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 79
4.3.1

Soluci´ general de l’homog`nia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
o
e

4.4 Equacions lineals homog`nies a coeficients constants . . . . . . . . . . . 85
e
4.5 Equacions lineals no homog`nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
e
4.5.1

M`tode de variaci´ de les constants o dels par`metres . . . . . 89
e
o
a

4.5.2...