CALCULO DIFERENCIAL

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CALCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculodiferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente delálgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de  en cada punto. Esto se corresponde a las pendientes delas tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
ANTECEDENTES HISTORICOS:
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), conconceptos de tipo geométrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas(reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que elcálculo diferencial fue generalizado alespacio euclídeo y el plano complejo.

LIMITES: En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hastaprincipios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados  Weierstrass.De manera informal el límite se define de la forma siguiente:  
Definición de límite de f(x) en a informal.
Sea f(x)  una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número  ca, como en la figura (G.1).
 

 Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente adecir que existe tanto el límite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la siguiente forma:


CONCEPTO DE DIFERENCIAL:
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,  aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la...