Calculo Financiero

Derivaciones de Fórmulas
Régimen Simple y Compuesto

Régimen de Interés Compuesto

Fórmula General:

Cn= Co (1+i)n

Siendo:

Co= Capital inicial.
i: tasa de interés.
n: cantidad de períodos de la operación.
(1+i) n : Factor de capitalización para n períodos.
Cn: Monto al cabo de n períodos ( incluye capital inicial e intereses).

Cálculo del capital inicial (Co)

Partiendo dela fórmula general:

Cn= Co (1+i)n

Dividiendo ambos lados por el factor de capitalización

Cn = Co (1+i)n
(1+i)n (1+i)n

Co = Cn
(1+i)n

Cálculo de la tasa de interés

Fórmula General:

Cn= Co (1+i)n

Dividimos ambos lados de la igualdad por el capital inicial (Co), obteniendo lo siguiente:

Cn_ = (1+i)n
Co

Elevandoambos lados de la igualdad a la (1/n) se tiene que:

Cn_ 1/n = (1+i)n 1/n
Co
Simplificando, se obtiene:

Cn_ 1/n = 1+ i
Co

Despejando “i” (restando a ambos lados por “1”) tenemos:

Cn_ 1/n - 1 = i
Co

i = Cn_ 1/n - 1
Co

Cálculo del número de períodos (n)

Como siempre partimosde la fórmula general

Cn= Co (1+i)n

Dividiendo ambos lados por el capital inicial:

Cn = (1+i)n
Co

Para este caso la manera de despejar nuestra incógnita, es utilizando logaritmos. Usualmente en aplicaciones financieras se utiliza el logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln). Aplicándolo a ambos lados de la igualdad tenemos que:

ln Cn = ln ( (1+i)n )
CoRecordando la propiedad de los logaritmos:

ln a = ln (bc )

ln a= c ( ln b)

Por lo tanto de nuestra ecuación precedente nos queda que:

ln Cn = ln ( (1+i)n )
Co

ln Cn = n ln (1+i)
Co

Dividiendo ambos lados por el logaritmo del factor de capitalización nos queda lo siguiente:

ln Cn = n ln (1+i)
Co

ln (1+i) ln (1+i)Simplificando y despejando para “n”:

n = ln Cn
Co

ln (1+i)

Régimen de Interés Simple

Fórmula General

Cn= Co (1+i . n)

Cálculo del capital inicial

Partiendo de la fórmula general

Cn= Co (1+i . n)

Dividiendo ambos lados de la igualdad por ( 1+ i . n )

Cn = Co
(1+ i . n )

Co = Cn___
(1+ i .n )

Cálculo de la tasa de interés

Partiendo de la fórmula general

Cn= Co (1+i . n)

Dividiendo ambos lados por el capital inicial tenemos que:

Cn = 1 + i .n
Co

Restando “1” y acomodando convenientemente:

i . n = Cn - 1
Co

i = Cn - 1
Co

n

Cálculo del número de períodos (n)

Partiendo de la fórmula general

Cn=Co (1+i . n)

Tal como se efectuó en el caso anterior, dividimos ambos lados por Co, y pasamos el “1” restando:

i . n = Cn - 1
Co

Finalmente dividimos miembro a miembro por “i”, obteniendo:

n = Cn - 1
Co

i

Régimen de Descuento Compuesto

Fórmula General:

VA =VN (1- d) n

Siendo:

VN : Valor nominal.
VA:Valor actual.
d : tasa de descuento efectiva.
n: cantidad de períodos de la operación.
(1- d)n : factor de actualización.

Cálculo del Valor Nominal (VN)

Partimos como siempre de la fórmula general:

VA =VN (1- d)n

Dividiendo ambos lados de la igualdad por el factor de actualización “(1- d)n “ y reordenando convenientemente:

VN(1- d)n = VA
(1- d)n (1-d)n

VN = VA
(1- d)n

Cálculo de la tasa de descuento

Partimos como siempre de la fórmula general:

VA =VN (1- d)n

Dividiendo por VN:

VA = (1- d)n
VN

A lo igual de lo que se hizo en el régimen de interés compuesto, elevamos ambos lados de la igualdad por (1/n).

VA_ 1/n = (1-d)n 1/n
VN

Por propiedad de la potenciación , la potencia de...