Calculo Fraccional

Una Breve Introducci´n al C´lculo Fraccional o a
(Laberintos e Infinitos, N´ mero 8, Primavera 2003) u

M. Rocha
En c´lculo elemental aprendimos c´mo encontrar la derivada Dx f de una a o 2 funci´n f . Tambi´n estudiamos c´mo calcular su segunda derivada Dx f , su o e o 3 tercera derivada Dx f y as´ sucesivamente. M´s tarde tambi´n aprendimos ı a e −1 −2 c´mo calcular integrales (o derivadasde orden negativo), e.g., Dx f y Dx f o son lo mismo que integrar la funci´n f una o dos veces, respectivamente, o con respecto a x. ¿Pero qu´ pasa si el orden de la derivada (o integral) no e 1/2 es un entero sino una fracci´n, tal como Dx f , o incluso un n´mero real o u −π como Dx f ? Esta nota es una breve introducci´n a la teor´ de integrales o ıa y derivadas de ´rdenes arbitrarios, m´scom´nmente conocida como c´lculo o a u a fraccional. El c´lculo fraccional ha tenido una larga historia, datando desde 1695 a 1/2 cuando Leibniz duscuti´ el significado de Dx (x) en una carta a L’Hˆpital. o o Leibniz escribi´ que su resultado era ”una aparente paradoja de la cual alg´n o u d´ se obtendr´n consecuencias utiles.” Muchos de los matem´ticos distinıa a ´ a guidos de generaciones posterioreshan contribuido a la teor´ entre ellos ıa; estaban Riemann y Liouville, cuya definici´n de la integral y derivada fraco cionales discutiremos a continuaci´n. o Primero, recordemos algunas notaciones de c´lculo elemental. La n-´sima a e derivada de una funci´n f est´ definida recursivamente por o a
0 Dx f (x) ≡ f (x), n n−1 Dx f (x) ≡ Dx [Dx f (x)] (n = 1, 2, . . .).

(1)

An´logamente, la n-´simaintegral de f est´ definida por a e a
x −0 Dx f (x)

≡ f (x),

−n Dx f (x)

≡
0

Dt

−(n−1)

f (t) dt (n = 1, 2, . . .).

(2)

Puede probarse que la segunda integral en (2) (la cual es en esencia una 1

integral m´ltiple) se puede reducir a una integral sencilla y est´ dada por u a
−n Dx f (x) =

1 (n − 1)!

x

(x − t)n−1 f (t) dt (n = 1, 2, . . .),
0

(3)

donde(n − 1)! ≡ (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1. Lo que queremos hacer es generalizar (1) y (3) sustituyendo n por un n´mero real positivo ν. Para poder hacer esto, primero necesitamos declarar u algunas propiedades de la ya conocida funci´n Euler gamma definida por o
∞

Γ(z) ≡
0

tz−1 e−t dt (z > 0).

Es f´cil verificar que Γ(1) = 1 y no tan f´cil verificar que Γ(1/2) = π 1/2 . a a Adem´s, usandointegraci´n por partes, podemos demostrar que Γ(z + 1) = a o zΓ(z). As´ en el caso especial cuando z = n, vemos que Γ(n + 1) = nΓ(n) ı, o, equivalentemente, Γ(n) = (n − 1)!. Es por esta propiedad que a veces se refiere a la funci´n gamma como la funci´n factorial generalizada. Por tanto, o o podemos reemplazar el denominador (n − 1)! en (3) por Γ(n). Ahora estamos listos para generalizar integrales yderivadas a ´rdenes o arbitrarios. Para cualquier ν > 0, definimos la integral fraccional de orden ν de una funci´n f (continua) como o
−ν Dx f (x) ≡

1 Γ(ν)

x

(x − t)ν−1 f (t) dt.
0

(4)

N´tese que cuando ν = n, la definici´n anterior se reduce a la f´rmula usual o o o dada en (3). Por ejemplo, sea f (x) = 1 y ν = 1/2. Entonces
−1/2 Dx (1) = x 1 (x − t)−1/2 dt, Γ(1/2) 0 x 1 = 1/2u−1/2 du (con t = x − u), π 0 2 1/2 = 1/2 x . π

−0 Para comparar, remarcamos que Dx (1) = 1 (lo cual significa que no se le −1 est´ haciendo nada a la funci´n) mientras que Dx (1) = x (lo cual es s´lo a o o una antiderivada de 1.

2

La derivada fraccional ser´ definida a continuaci´n en t´rminos de la a o e integral fraccional. Sea m el menor entero positivo mayor o igual que un m n´meropositivo ν (por ejemplo, m = 1 cuando ν = 1/2). Entonces Dx u es s´lo la m-´sima derivada usual y m − ν ≥ 0. Para cualquier ν > 0, la o e derivada fraccional de orden ν de una funci´n f (continua) se define como o
ν m −(m−ν) f (x)]. Dx f (x) ≡ Dx [Dx −(m−ν)

(5)

N´tese que Dx o es la integral fraccional de orden m − ν. Continuando con el ejemplo anterior, donde f (x) = 1, la derivada...