Cálculo

C´ lculo a

Noviembre 2010

c Dpto. de Matem´ ticas – UDC a

Series num´ ricas. Sucesiones e

Definici´ n o
Una sucesi´ n es una aplicaci´ n a : IN −→ IR. o o Denotamos simplificadamente an en vez de a(n). El l´mite de la sucesi´ n (an ) es l ∈ R si para cada ε > 0, existe un n´ mero ı o u natural N ∈ IN tal que |an − l| < ε para todo n > N. En caso de que el l´mite exista, se escribe l= l´mn→∞ an y la sucesi´ n se dice ı ı o convergente.

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Series num´ ricas e

Dada una sucesi´ n (an ), podemos construir la sucesi´ n de sumas parciales: o o sn = a1 + . . . + an . Llamamos serie de t´ rmino general (an ) a la sucesi´ n de sumas parciales e o (sn ). La serie converge si lo hace la sucesi´ n de sumas parciales. Si la serie es o convergentedenotaremos
∞

ı ∑ an = l´mn→∞ sn .
n=1

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Series num´ ricas. Propiedades e

Sean ∑ an , ∑ bn dos series convergentes y c ∈ R. Entonces: 1) La serie suma ∑(an + bn ) es convergente y

∑(an + bn ) = ∑ an + ∑ bn .
2) La serie ∑(can ) es convergente y

∑(can ) = c ∑ an .
Teorema (Condici´ n necesaria de convergencia de series) o
∞

Si la serie

ı ∑ anes convergente, entonces l´mn→∞ an = 0
n=1

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Series num´ ricas e

Criterio del cociente (o de D’Alambert) Sea an > 0 tal que l´mn→∞ ı Entonces: 1) Si r < 1, la serie ∑ an converge. 2) Si r > 1 o r = +∞, la serie ∑ an no converge. 2) Si r = 1, el criterio no decide. an+1 =r an

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Series num´ ricas. Criterios deconvergencia e
Criterio del cociente (o de D’Alambert): Ejemplos
n! 1. ∑ nn

l´m ı

an+1 1 nn 1 = < 1, = l´m ı = l´m ı 1 n an (n + 1)n e (n + n )

por tanto es convergente.
3 2. ∑ 3+n!
n

l´m ı

an+1 3n+1 3 + n! 3/n! + 1 = l´m ı = l´m 3 ı = 0, an 3 + (n + 1)! 3n 3/n! + n + 1

por tanto es convergente. 3. Ejemplo en que el criterio no decide. Si consideramos la serie arm´ nica o 1 ∑ ns an+1 nsl´m ı = l´m ı = 1. an (n + 1)s
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Series num´ ricas. Criterios de convergencia e

Criterio de la ra´z (o de Cauchy) ı Sea an > 0 y tal que existe l´mn→∞ ı √ n a = r. Entonces: n

1) Si r < 1, la serie ∑ an converge. 2) Si r > 1, la serie ∑ an no converge. 3) Si r = 1, el criterio no decide.

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Series num´ ricas. Criteriosde convergencia e
Criterio de la ra´z: Ejemplos ı
1 1. ∑ (log n)n

√ 1 ı = 0 < 1, l´m n an = l´m ı log n por tanto es convergente.
n 2. ∑[ n+2 ]n
2

√ 2 n ı ] = l´m ı l´m n an = l´m[1− ı n+2 por tanto es convergente.

1−

2 n+2

−(n+2)/2

−2n/(n+2)

= e−2 < 1 ,

3. Ejemplo en que el criterio de la ra´z no decide. Si consideramos la serie ı 1 arm´ nica ∑ ns o √ 1 l´m n an = l´m1/n s = 1 . ı ı (n )
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Series num´ ricas alternadas e
Definici´ n (Series alternadas) o Una serie es alternada si sus sumandos son alternativamente positivos y negativos:

∑ (−1)n an ,
n=1

∞

o bien

∑ (−1)n+1 an = − ∑ (−1)n an ,
n=1 n=1

∞

∞

con an ≥ 0. Teorema (Criterio de Leibnitz) Una serie alternada e ∑ (−1)n an , an ≥ 0, es convergente sisu t´ rmino
n=1 ∞

general an converge montonamente hacia cero, en cuyo caso: s2n <

∑ (−1)n an < s2n+1
n=1

∞

y

| ∑ (−1)n an − sn | < an+1
n=1

∞

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Series num´ ricas absolutamente convergentes e
Definici´ n (Convergencia absoluta) o
∞

Diremos la serie valores absolutos

∑ an es absolutamente convergente si la serie de los
n=1 ∞

∑ |an| = |a1 | + . . . + |an | + . . . ,
n=1

es convergente. Teorema (Convergencia absoluta ⇒ convergencia) Si ∑∞ |an | converge, entonces ∑∞ an tambi´ n converge. e n=1 n=1

Nota
La serie de valores absolutos es una serie de t´ rminos positivos y por tanto e podemos aplicarle los criterios de convergencia de series de n´ meros u positivos vistos.
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