calculo III

Universidad Tecnológica de Panamá
Centro Regional de Panamá Oeste
Facultad de Ingeniería Civil
Cálculo III
Investigación #3



Presentado por:
Bocaranda Victor
8-899-1670

Grupo
91L111



A la profesora:
Magally Zamora




Fecha:
Lunes 17 de noviembre de 2014.

INVESTIGACIÓN

1. Definición de función vectorial
En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial deuna magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma  .
Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
Como expresión matemática rigurosa, los camposvectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.
Funciones vectoriales
En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.
R(t) = < f(t), g(t)>=f(t)i + g(t)j
Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones
X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b
Una función vectorial se expresa como:
R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k
Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t).
2. Límite de una función vectorial.
Lafunción fundamental de límite de una función vectorial se define en términos de los límites de las funciones componentes
Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t)
t a t a t a
TEOREMA
Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces
Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar
t a
(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2
t a
 lim r1 . rt2 = L1 . L2
t a

La definición de límite es análoga a la del casoreal y la generaliza. Dada una función vectorial, ,  un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de  como queramos), y , decimos que  es el límite de  cuando  tiende a , , si ocurre que 

Como la norma en el caso  coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de  en . 

Ejemplo:
Definición 5.18.: sea . Sea  un punto de acumulación de  ysea . Se dice que  si

Observación 5.6.: análogamente a los casos anteriores se verifica, el teorema de unicidad de límites. Sin embargo no se puede hablar de producto, cociente y potencias en , por tanto, los resultados del algebra de límites sólo se verifican para la suma.
Proposición: Sea  con  y sea , son equivalentes
1.
2.

3. Propiedades de la derivada de funciones vectoriales.
Derivación defunciones vectoriales y sus propiedades
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funcionesconstitutivas de la misma son funciones valoradas reales.
Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta función se denota como,
lim = [ (t + h) - (t)]/ h
Los conceptos del cálculo Cartesiano sonaplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto.
Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’.
2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos...