Ejercicios Cálculo III

Universidad Andrés Bello
FMM235: Cálculo en Varias Variables
Guía 1
P1. Hallar los componentes del vector que tiene como puntos iniciales el vector x y como punto
final el vector y si:
x = (7, 3,5) , y = (−8, 4, 2)

x = (6, 1, 3) , y = (4, 0, −6)

x = (1, 1, 1) , y = (−1, 0, 0)

x = (4, 1, 6) , y = (−3, 0, 2)

Haga los dibujos correspondientes.
P2. Determine la proyección ortogonalde x sobre y si:
x = (7, 3, 5) , y = (−8, 4, 2)

x = (6, 1, 3) , y = (4, 0, −6)

x = (1, 1, 1) , y = (−1, 0, 0)

x = (4, 1, 6) , y = (−3, 0, 2).

Determine además el ángulo θ y el productovectorial x × y que forman los vectores x e y
anteriores.
Complete los dibujos del ejercicio anterior con las respuestas, y de una explicación geométrica
de acuerdo a lo visto en clases.
P3.Encuentre escalares k1 , k2 y k3 tales que
k1 (1, 2, 3) + k2 (5, 7, 1) + k3 (6, 9, −2) = (4, 5, 0).
Interprete este resultado usando sus conocimientos de álgebra lineal.
P4. Demuestre que si x esortogonal a y y a z, entonces x es ortogonal a k1 y + k2 z , para todo
escalar (o real) k1 y k2 .
P5. Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) y z = (z1 , z2 , z3 ). Demuestre que:
x1 x2 x3
x · (y ×z) =

y1

y2

y3

z1

z2

z3

.

P6. Considere los siguientes puntos en R3 :
x = (1, 1, 1)
y = (1, 1, −1)
z = (−1, 1, 1)
a) Calcule el área del triangulo cuyos vértices son x, y yz.
b) Halle la ecuación del plano que contiene a x, y y z.
P7. Calcule el volumen del prisma en R3 cuyos vértices son los puntos
1

A = (0, 0, 0),
B = (1, 0, 0),
C = (2, 2, 0) y
D = (0, 0,1).
P8. En cada uno de los casos siguientes, hallar un vector unitario que sea ortogonal tanto a a como
ab:
a = (−7, 2, 5) , b = (−3, 4, 2)

a = (6, 1, 3) , b = (4, 0, −6)

a = (1, 2, 1) , b =(−1, 7, 5)

a = (4, 1, 6) , b = (−3, 0, 2).

P9. Si x = (1, 2, 3), y = (3, 4, 5) y z = (5, 6, 7), determine los siguientes vectores:
x × y, x × (y × z), (x × y) × z, (x × y) × (y × z), x × (y −...