Calculo III Funciones Vectoriales

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingenier´ıa
Instituto de Ciencias B´asicas

Gu´ıa de Ejercicios - Funciones Vectoriales
1. Determine el dominio I ⊆ R de las siguientes funciones vectoriales:
a) f : I ⊆ R → R2 , f (t) = (t, 1).
√
b) f : I ⊆ R → R2 , f (t) = ( t, t2 ).
1
, ln(t) .
c) f : I ⊆ R → R2 , f (t) =
t
d) f : I ⊆ R → R3 , f (t) = (ln(t2 + t + 1), ln(t2 − t + 1), ln(t2 + 1)).
2.Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım
t→1

b) l´ım
t→0

t2 − 1 t2 − 1
,
.
t−1 t+1
t
sin(t)
,
.
t
cos(t)

c) l´ım
t→0

sin(2t) cos(2t) sin(4t)
,
,
.
sin(35) cos(3t) cos(5t)

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:
a) f (t) =

t, sin(t)
t
(0, 1)

, si t = 0

b) f (t) =

, si t = 0

sin(2t) cos(2t) sin(4t)
,
,
sin(5t) cos(3t) cos(5t)

(2/5, 1, 0)

, si t = 0
, si t = 0

4. Demuestre quetodo camino f : R → R2 definido por f (t) = (at + b, ct + d), donde a y c son
n´
umeros reales no nulos, es simple. Describa su traza.
5. Determine si el camino f : [−2, 2] → R2 definido por
f (t) = (t2 − 1, t3 + 2t2 − t − 2)
es simple y/o cerrado.
6. Describa la traza del camino f : [0, 2π] → R definido por f (t) = (a cos(t), b sin(t)) en cada
uno de los siguientes casos:
a) a = b.
b) a = b.
7.Describa la traza de los caminos f, g, h : [0, 2π] → R3 dados por
f (t) = (cos(t), sin(t), 0) , g(t) = (2 cos(t), 0, 2 sin(t)) , h(t) = (0, 3 sin(t), 3 cos(t)) .
Se dice que el camino f : I ⊆ R → R3 , definido por f = (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) se encuentra sobre
la esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 } si f (t) ∈ S, para cada t ∈ I. Pruebe que las
funciones f , g y h se encuentransobre alguna esfera.
1

8. Se dice que un camino f : I ⊆ R → R3 define una curva plana si existe un plano Π = {(x, y, z) ∈
R3 ; ax + by + cz = d} tal que f (t) ∈ Π , ∀t ∈ I.
a) Pruebe que el camino f : R → R3 definido por f (t) = (a cos2 (t), 0,5b sin2 (t), 0,5c sin2 (t)) se
x y z
encuentra sobre el plano + + = 1.
a b c
b) Pruebe que el camino f : R → R3 definido por f (t) = (t2 + t + 1, t2 − 1, t +2) se encuentra
sobre el plano z = x − y.
9. Para las siguientes funciones, determine si ellas son diferenciales y/o regulares en alg´
un subconjunto I de R:
a) f (t) = sin2 (t), sin(t2 ) .
√
3t + 1, ln3 (t2 + 1) .
b) f (t) =

c) f (t) = (cos(t), cos2 (2t), cos3 (3t)).
d) f (t) = (exp(−0,5t2 ), −0,5t2 , ln(t2 + 0,5)).

10. Sea f : [0, 2π] → R2 el camino definido por f (t) = (a cos(t), a sin(t)),donde a, b > 0. Demuestre
que f (t) ⊥ f (t) en [0, 2π] si y s´olo si a = b. Interprete este hecho geom´etricamente.
11. Hallar los valores de t ∈ R, para los cuales el vector tangente al camino f : R → R2 definido
por f (t) = (2t2 + 1, 3t − 2), sea paralelo al vector v = (2, −1).
12. Determine la ecuaci´on de la recta tangente y del plano normal a la curva descrita por el camino
f : I ⊆ R → R3 enel punto indicado:
a) f (t) = (t + 1, 3t − 1, 2t − 5) en p = f (t0 ). d) f (t) = (e−2t , e−t , t) en p = f (0).
b) f (t) = (t3 − 2t, t2 + 1, 3) en p = f (1).

e) f (t) = (et sin(t), et cos(t), 5t) en p = f (0).

c) f (t) = (cos(3t), sin(3t), 3t) en p = f (0).

f) f (t) = (3 cos(t), 1, 2 sin(t)) en p = f (π).

13. Determinar los puntos en que la recta tangente a la curva descrita por el camino f : R→ R3
definido como f (t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ) es paralela al plano 3x + y + z = 5.
14. Hallar el punto en que el camino f (t) = (t + 1, 3t − 2, 2t − 1) est´a m´as cerca del origen.
15. Parametrice los siguientes subconjuntos de R2 en la direcci´on que se indica:
a) El eje x, recorrido de izquierda a derecha.
b) El eje y, recorrido de arriba hacia abajo.
c) La recta y = 2x, recorrida deltercero al primer cuadrante.
d) La cuarta parte del c´ırculo x2 + y 2 = 3, que se encuentra en el segundo cuadrante, recorrido
en sentido antihorario.
e) El cuadrado |x| + |y| = 1, recorrido en sentido antihorario.
16. Calcule la longitud de arco de los siguientes caminos:
d) f : [0, 1] → R2 , f (t) = (cosh2 (t), sinh2 (t)).

a) f : [0, 3] → R2 f (t) = (t, 5t + 1).
√
b) f : [0, 2] → R2 , f (t) =...