Calculo Integral Para Electronica

4. POLINOMIOS DE TAYLOR Y MAC LAURIN
Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos porque sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra función que pueda aproximarse por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funcioneslogarítmicas, exponenciales y trigonométricas, las cuales no pueden evaluarse tan fácilmente.
Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña.
Varios métodos pueden emplearse paraaproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor.
Brook Taylor
Nace en Edmonton, Inglaterra en 1685.
Fue discípulo de Newton. Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica en Londres en 1715, donde describe sufórmula, aunque sin demostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (Aunque esta fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no la habían publicado). Allí examinó los cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales definió comoincrementos), y presentó el desarrollo en serie de una función de una variable.
Tales estudios no se hicieron famosos enseguida, sino que permanecieron desconocidoshasta 1772, cuando el matemático francés Joseph Louis de Lagrange, subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo diferencial.
Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad, sobre problemas de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución. Falleceen Londres en 1731.

MCLAURIN Y TAYLOR:

Sea la fórmula de McLaurin

siendo con 0 < z < x.
Es decir .
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión


Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:



1)Se trabaje en elintervalo de convergencia de la serie y

2).

Ejemplo: Sea f(x) = ex

Veremos si.
Que .


Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0) =1
f"(x) = -senx; f"(0) =0
f"'(x) = -cosx ; f"'(0)=-1
FIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando

Pero en todo caso siempreson en valor absoluto menor que 1, y finalmente
Con lo que y finalmente


Estudiemos el intervalo de convergencia
y por lo tanto I = R



SERIE DE TAYLOR

De lo que se obtiene:

Si a = 0 entonces se habla de serie de McLaurin.
Serie de Taylor
En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en unintervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si laserie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
* La...