calculo integral
































ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


1.- DEFINICIONES BÁSICAS

1.1-Una ecuación diferencial es una proposición de tipo abierta, esto quiere decir que hay un elemento de la oración que es variable, y que hay que buscar dentrode un universo quien es ese elemento que hace verdadera esa proposición

Ejemplo 1:

4=3 “Proposición cerrada”




Ejemplo 2:

3x +1 = 4 “Proposición abierta”






Ejemplo 3:

“Proposición abierta”







1.2.- Son ecuaciones diferenciales las que contienen derivadas o diferenciales de funciones con una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.

Ejemplo 4:

+2 - Una ecuación diferencial de 2do orden.
- Variable dependiente y
-Variable independiente x
- Una ecuación diferencial ordinaria la ecuación va a depender de una sola variable independiente.

1.3.- Características de una ecuación diferencial ordinaria

1.3.1.-Orden de unaecuación diferencial
Depende de la mayor derivada expresada en la ecuación.

Ejemplo 5.: yll + 2yl = e2x 2do orden

1.3.2.- Grado de la ecuación diferencial

Primero debemos tomar en cuenta la derivada de mayor orden de la derivada dependiente y observamos la potencia que nos dará el grado de la E.D (La E.D. es de 2do orden y 3er grado).

3 + 7 = e3x

1.3.3 Formas deRepresentar una EDO
f (x, yI , yll) = 0 o yll = f (x, yl) 2do orden
f (x, yl) = 0 o yl = f (x) 1er orden
f (x, yl, yll, ylll) = 0 o ylll = f (x, yl, yll) 3er orden
f (x, yl, yll, …, yn-1, yn) o ylll = f (x, yl, yll) orden superior

1.3.4 Solución de las EDO
Se encuentrafunciones que pueden ser (la letra que se le asigne)
X2 + x + 1 = 0
X1 = ?
X2 = ?

yl + 3 = 2x
f ( x ) = ?


y = ce-x + ex es solución de E. D. y’ + 2y = ex
= -ce-x + ex
-ce-x + ex + 2 (ce-x + ex) = ex
-3ce-x + ex = ex la ecuación y = ce-x + ex no es solución de la E. D.

y = ce-2x + ex es solución de E. D. yl + 2y = ex
-2ce-2x + ex + 2(ce-2x + ex) = ex-2ce-2x + ex + 2ce-2x + ex = ex
ex = ex si es solución de la E. D.
1.3.5 Formas de expresar una solución de las EDO

En la solución de una ecuación diferencial encontramos una función que depende de “x” y de una constante ( c) o y(x, c) = 0.
Solución General: cuando no tenemos el valor de la constante.
Solución Explicita: cuando tenemos despejado la variabledependiente.
Solución implícita: cuando no tenemos despejado la variable dependiente.

Nota:
Tratar de dejar siempre en la solución explicita
Un valor inicial me va a ayudar a despejar el valor de la constante.

2. Clasificación de las Ecuaciones diferenciales Ordinarias

Clasificación de - Lineales ( yl + p(x)y = g(x) )
las E. D. O . - No lineales

Se deben cumplir doscosas para E.D.O
1. La variable dependiente y sus derivadas no deben ser afectadas o deben ser de 1er orden la variable dependiente y sus derivadas.
2. Los coeficientes solo afectan a la variable independiente.

Ejm.: + – = E.D.O es lineal

lineal lineal lineal lineal

+ ln (x+y) = 2x E.D.O. no lineallineal no lineal no lineal
2.1 Segunda Clasificación de las EDO

Clasificación de - Homogéneas: es una ecuación homogénea si no contiene Ecuaciones términos que dependen únicamente de su variable Diferenciales independiente.
Ordinarias - No homogéneas


Ejm: + xy = 2x...