calculo integral






Calculo Integral
Unidad 3 y 4

Edgar López Aguirre

Instituto Tecnológico Superior
de Cosamaloapan

Guadalupe Vidal Cruz






Definición de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.






Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
Toda integral extendida a un intervalo de un solopunto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» laconstante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):




Teorema de existencia para integrales definidas

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dichointervalo, para el que se verifica:

El valor f (x) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Setrata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integraciónsencilla.


Teorema Fundamental Del Cálculo


El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:
1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidadesen el camino de integración.



Teorema del valor medio para integrales

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
f(c)(b a)  
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] elresultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m  f(x)  M  x  [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b a)  M(b a)      entonces        m  M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura...