calculo integral

1.1 Medición Aproximada de Figuras Amorfas
 
Las figuras amorfas, “son aquellas figuras   que no tienen forma   porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de laparte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”.


Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras. 
                
Para un polígono irregular ( figuras con curvas)  trazas diagonales y resuelves por triángulos.

Para estimar el área detal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales

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Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiraselementales en toda la región o la zona limitada.
Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.












Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tiraelemental sería, dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy


NOTACION SUMATORIA
La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un númerodeterminado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente.
1.2 Notación Sumatoria
 
Notación Sigma 
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma w (sigma mayúscula, que corresponde anuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:





Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

 
Si queremos expresar la suma de loscinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:






Algunos ejemplos adicionales:





LA SUMA DE RIEMMAN
La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del áreatotal bajo la grafica de una curva.  la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de unacurva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma deRiemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:...