Calculo integral

 Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida

Vamos a estudiar la aplicaci´on de la integral definida al concepto de “trabajo”.Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una l´ınea recta,
y la direcci´on de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como elproducto de la fuerza F por el camino recorrido.

Es decir: W = F · x.

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede
expresar en forma tan simple.Consideremos una part´ıcula P que se desplaza sobre el eje x, desde el punto (a, 0) al punto (b, 0) por medio de
una fuerza f = F (x), x ∈ [a, b].Dividamos el segmento [a, b] en n partes arbitrarias de longitudes ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xi, . . .  , ∆xn, y tomemos en
cada subintervalo [xi−1, xi] un punto arbitrario ti como se muestra a continuaci´on.

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Figura 7.33:Cuando la partícula se mueve de xi−1 a xi, el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto F (ti)·∆xi.

Luego, la suma:


n
F (ti) · ∆xi
i=1nos dar´a la expresi´on aproximada del trabajo de la fuerza F en todo el segmento [a, b].

La suma


n
F (ti) · ∆xi
i=1

representa una suma integral, por lo que si


n
lim
max ∆xi→0

i=1
F (ti) · ∆xiexiste, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza f = F (x) al mover una part´ıcula de a a b, a lo
largo del eje x.

Se tiene entonces que


n
b
W = lim
max ∆xi→0

i=1
F (ti) · ∆xi =

aF (x) dx

siendo F (x) la fuerza aplicada a la part´ıcula cuando ´esta se encuentra en el punto cuya coordenada es x.Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es
el kilogr´ametro. Tambi´en pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-cent´ımetro....