Calculo Integral

DESARROLLO DEL CÁLCULO INTEGRAL

El siglo XVII: Newton y Leibniz
El Cálculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento más efectivo para la investigación científica. Concebido para el estudio del cambio, el movimiento y la medición de áreas y volúmenes, el cálculo es la invención que caracteriza la revolución científica del siglo XVII.
Su creación se debe al trabajo de dosmatemáticos, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes publicaron sus investigaciones entre los años de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la
revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.
El cálculo se desarrolló a partir de las técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos deproblemas: el cálculo de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos, había realizado los avances más significativos sobre esos problemas, aplicando el método exhaustivo o de agotamiento para la determinación de áreas y volúmenes.
Obteniendo importantes resultados sobre el cálculo de tangentes para ciertas curvasparticulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renovó el interés por esos problemas y varios matemáticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647, John Wallis, Pierre de Fermat, Gilles de Roberval e Isaac Barrow, lograron avances que prepararon el camino para la obra de Leibniz y Newton.
A partir de la utilización del método cartesiano para sintetizar los resultados y técnicas desarrollados previamentepara el cálculo de áreas y tangentes de curvas, Newton y Leibniz inventaron los métodos y algoritmos que hacen del cálculo una herramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en la creación del cálculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas separadamente.
Newton, en sus primeras investigaciones introdujo las series infinitas de potencias en unavariable x para reformular resultados previos de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utilizó infinitesimales para mostrar la relación inversa entre el cálculo de áreas y el cálculo de tangentes.
Las operaciones de derivación e integración de funciones y su relación recíproca, emergen como un proceso analítico que puede ser aplicado al estudio general de las curvas.

En lapresentación de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el movimiento y la dinámica de los cuerpos. Así, las variables son vistas como algo que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o razón de cambio con respecto al tiempo la llama su fluxión. El problema básico del cálculo es, para Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton concluyesu tratado sobre el método de fluxiones que es publicado después de su muerte.
En su libro Principios Matemáticos de la Filosofía Natural, escrito en 1687, Newton estudia la dinámica de las partículas y establece las bases matemáticas para el cálculo de razones de cambio mediante una teoría geométrica de los límites. Utilizando estos conceptos, desarrolla su teoría de gravitación y reformula lasleyes de Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, expresa magnitudes y razones de cambio en términos de cantidades geométricas, tanto de tipo finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje
algebraico. Esta reticencia de Newton a usar los métodos algebraicos, limitó su influencia en el campo de las matemáticas e hizo necesario reformular suscontribuciones en términos del cálculo de Leibniz.
Después de varios años de estudio bajo la dirección de Huygens, Leibniz investigó las relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de números y dedujo varias fórmulas famosas.
Leibniz se interesó en las cuestiones de lógica y de notación para la investigación formal, y su cálculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas...