Calculo Integral

CONCEPTOS DE LA RELACIÓN ENTRE LA DERIVADA Y LA ANTIDERIVADA

El concepto fundamental de una derivada es el siguiente:
La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.*
En palabras simples podemos definir una derivada como el límite que obtenemos a momento de dividir ∆y (incremento de lafunción) sobre ∆x (incremento de la variable independiente) cuando ∆x tiende a cero.
lim┬(∆x→0)⁡〖(Δy/Δx)^ =f^' (x)=d/dx f(x)〗
Por ejemplo:
lim┬(∆x→0)⁡〖(dy/dx x^3 )^ =3x^2 〗
Mientras que la definición de la antiderivada o integral no es más que la operación inversa de la derivada. O sea que dada la diferencial de una función, hallar la función correspondiente. Esta operación se representa con elsigno de integral ∫▒ delante de la diferencial dada.
∫▒〖f^' (x)dx=f(x) 〗
Retomando el ejemplo:
∫▒〖3x^2 〗 dx=x^3
Por lo tanto podemos afirmar que la derivada y la antiderivada son operaciones inversas.
PASOS PARA INTEGRAR POR MÉTODO DIRECTO
Éste es un método de integración en el que la integral a resolver tiene la forma exacta de alguna de las reglas de integración, por lo que no es necesariohacer ninguna manipulación para resolverla.
Gracias a esto podemos hacer uso de ciertas formulas sin necesidad de alterar la diferencial inicial y así poder integrar de manera más rápida y eficiente.
EJEMPLOS DE FORMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA
∫▒〖(du+dv-dw)=∫▒〖du+∫▒〖dv-∫▒dw〗〗〗
∫▒〖adv=a∫▒dv〗
∫▒〖dx=x+C〗
∫▒〖v^n dv=v^(n+1)/(n+1)+C〗
∫▒〖dv/v=ln⁡〖v+C〗 〗
Las primeras 2 formulas son más quenada propiedades de las integrales que nos ayudan a reducir diferenciales para poderlas trabajar con el método directo mientras que las siguientes 3 son las que integran la diferencial directamente.
Ejemplos:
Si tenemos que integrar ∫▒(2x+7)dx
Aplicamos la diferencial
∫▒〖2xdx+7dx〗
Usando la formula (1), separamos y obtenemos
∫▒〖(2xdx+7dx)=∫▒〖2xdx+∫▒7dx〗〗
Se sacan las constantes segúnla formula (2)
∫▒〖2xdx+∫▒7dx〗=2∫▒〖xdx + 7∫▒dx〗
Separamos y usamos las formulas (4) y (3) respectivamente
2∫▒〖xdx=2 x^2/2〗+C + 7∫▒〖dx=〗 7x+C
Resolviendo las operaciones restantes nuestro resultado final sería:
f(x)=x^2+7x+C
Así se comprueba que la integral inicial no fue manipulada de ninguna otra manera que con las fórmulas de integración directa.CONCEPTO DE UNA INTEGRAL
DEFINIDA

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la función definida es igual al área entre la grafica f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.

La integral definida se representa por
∫_a^b▒f(x)dx
Siendo ∫▒ el signo de integración; a el límite inferior de la integración; b el límite superior de la función; f(x) la función a integrar y dx eldiferencial de x e indica cual es la variable de la función que se integra.
INDEFINIDA

Sabiendo que la integración es la operación contraria de la derivación entonces se puede concluir que la antiderivada nos responde la pregunta ¿Cuál es la función que al momento de derivarla nos da un cierto valor?
Pero puede que al momento de integrar una diferencial, su función no satisfaga a la gráficainicial y eso es debido a que varias funciones tienen una misma derivada.
Ejemplo
dy/dx (x^2 )=2x dy/dx (x^2+1)=2x dy/dx (x^2+π)=2x
Podemos observar que 3 funciones distintas comparten la misma derivada y al momento de hacer esa la pregunta de la integral “¿Qué función al momento de derivarla nos da 2x?” Según las fórmulas de integración la respuesta seria x^2.
∫▒〖2xdx=x^2〗
Puesto a que este resultado es solo parcialmente correcto lo que se hace para satisfacer todos los resultados posibles es agregar una constante arbitraria o indefinida.
∫▒〖2xdx=x^2 〗+C
A esto se le llama una integral indefinida.
La integral indefinida es representada de esta forma:
∫▒〖f(x)dx=〗 F(x)+C
Siendo ∫▒ el signo de integración; f(x) la función a integrar; dx el diferencial de x, e...