Calculo Integral

Definición de derivada, interpretación geométrica y física
| La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero., |
Ejemplos:
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x – 5 en x = 1.Interpretación geométrica de la derivada
| Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. |
| La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. |
Ejemplo:
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que larecta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Solución:
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que .
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.
| |
Ejercicio 1
Resolver los siguientes problemas:
1.Calcular las derivadas en los puntos que se indica:
a)  en x = –5.
b)  en x = 1.
c)  en x = 2.
d)  en x = 3.
2. Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, hallar las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje x un ángulo de 45°.
Interpretación física de la derivada
En cálculo, la derivada representa cómo una función cambia (valor de lavariable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.Velocidad media
| La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt). |
Velocidad instantánea
| La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo. |
Ejemplo:
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2.Calcular:
a) La velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

b) La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

Ejercicio 2
Resolver los siguientes problemas:
1. ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido?El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
2. El movimiento de una partícula está definido por la relación: e(t) = 4t4 – 6t3 + 2t – 1, donde x está expresada en metros y t en segundos. Determine la velocidad de la partícula cuando t = 2s.
3. El movimiento de una partícula está definido por la relación: x = 3t3 – 6t2 – 12t + 5, donde x está expresada en metros y t en segundos.Determine el instante t cuando la velocidad es cero.
Reglas para aplicar la derivada
El cálculo de la derivada de una función puede realizarse a partir de un conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienendirectamente a partir de una tabla.
Regla de los cuatro pasos
El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones se denomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f(x) continua y derivable, esta regla aplica las siguientes etapas:
Se determina: .
Se calcula: .
Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:
Se calcula el límite de este cociente...