calculo no perturbativo para el angulo de deflexion de la luz por objetos compactos

C´
alculo no perturbativo del
´
angulo de deflexi´
on
gravitacional de la luz.
UNIVERSIDAD DE COLIMA

Facultad de Ciencias
Autor:Santiago Arceo D´ıaz
Asesor:Dr.Paolo Amore Sarotti

1

Contents
1 Introducci´
on

4

2 Deflexi´
on gravitacional de la luz
´
2.1 El Angulo
de deflexi´
on de la luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

3 M´
etodos de aproximaci´
on10
3.1 M´etodos perturbativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 M´etodos no perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 C´
alculo no perturbativo del periodo para un oscilador de
Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Desarrollo y aplicaci´
on del m´
etodo general
4.1 F´
ormula general de primer orden . . . . . .4.2 Espacio-tiempo de Schwarzschild . . . . . .
4.3 Espacio-tiempo de Reissner-Nodstr¨
om . . .
4.4 Espacio-tiempo de Janis-Newman-Winicour
4.5 Espacio-tiempo de Einstein-Born-Infeld . .

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1515
20
24
28
29

5 Aplicaciones para el ´
angulo de deflexi´
on de la luz
32
5.1 Sistema y ecuaci´
on de la lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Posici´
on de las im´
agenes primaria y secundaria . . . . . . . . . . 35
5.3 Magnificaci´
on de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Conclusiones

41

7 Agradecimientos

42

2

A la luzdel conocimiento obtenido, el feliz logro parece
casi una trivialidad y cualquier estudiante inteligente
puede entenderlo sin mucha dificultad. Pero aquellos
a˜
nos de ansiosa b´
usqueda, con su intensa espera, sus
vaivenes de confianza y de desgaste, y la emergencia
final hacia la luz, eso s´
olo aquellos que lo hayan
experimentado lo comprender´
an.

Albert Einstein.

3

Chapter1

Introducci´
on
Uno de los fen´
omenos astron´
omicos m´
as estudiados en la actualidad es el de las
lentes gravitacionales. Las lentes gravitacionales son cuerpos celestes de gran
masa que desv´ıan de su trayectoria a los rayos de luz cercanos creando diversos
efectos o
´pticos. Por ejemplo, crean im´
agenes m´
ultiples de una misma fuente
de luz y magnifican las im´
agenesmostrando objetos luminosos que debido a su
lejan´ıa ser´ıa imposible observar.
La concepci´
on te´
orica de las lentes gravitacionales tuvo su origen en la teor´ıa
de la relatividad general, formulada en 1915 por Albert Einstein. La teor´ıa
predice que cualquier cuerpo masivo en el universo deforma el espacio y el
tiempo alrededor de ´el. Los rayos de luz al desplazarse cerca de dicho objetoson afectados por la deformaci´
on y se desv´ıan de la usual l´ınea recta en la que
se mueven cuando no est´
an bajo la acci´
on de alguna fuerza. Debido a esto, un
observador que capte los rayos de luz desviados estimar´
a una posici´
on distinta
a la posici´
on real de la fuente luminosa.
La primera observaci´
on de la deflexi´
on gravitacional de la luz fue realizada
durante eleclipse solar de 1919, las pruebas obtenidas confirmaron las predicciones de la Teor´ıa de Einstein.
Cuando se analiza la acci´
on de una lente gravitacional se considera que el observador, la fuente luminosa y la lente conforman un sistema geom´etrico, donde
la intensidad con la que la luz es desviada y la luminosidad de las im´
agenes
resultantes dependen del grado de alineaci´
on entre elobservador, la lente y la
fuente luminosa. La relaci´
on entre las posiciones angulares y distancias respecto
al observador est´
an representadas en la ecuaci´
on de la lente, donde un componente importante es el a
´ngulo de deflexi´
on de la luz, es decir, el a
´ngulo en que
los rayos de luz se desv´ıan de la trayectoria en l´ınea recta.
El c´
alculo del a
´ngulo deflexi´
on es de...