Calculo Serie

Definición de serie
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar lostérminos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatoria:
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y medianteun pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena finita, tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serieinfinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero adiferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos paradeterminar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Serie de potencias
Una serie del tipo:

Ordenada por potencias enterascrecientes de la variable x y con coeficientes

Todas constantes, independientes de x, recibe el nombre de serie de potencias.

Ejemplos
Escribir los cuatro primeros términos de cada serie cuyotérmino enésimo o general es el que se da.

Una serie de potencias de x puede converger para todos los valores de x, o para ningún valor con excepción de x = O, o puede converger para algunos valoresde x distintos de cero y ser divergente para otros valores.

EJEMPLO l. Hallar el intervalo de convergencia de la serie (2):

Solución. Aquí la razón de D' Alembert es:

Según

y la serieconverge cuando x es numéricamente menor que 1. y diverge cuando x es numéricamente mayor que 1.
Ahora examinemos los extremos del intervalo. Sustituyendo en (2) x = 1, obtenemos:

Que es...