calculo tensorial FI-UNAM
Páginas: 31 (7593 palabras)
Publicado: 7 de octubre de 2014
80
Capítulo 3
Cálculo tensorial
Una parte fundamental en el estudio de los fenómenos físicos es el cálculo de
la rapidez de cambio que tienen los diferentes tipos de campos que representen alguna
propiedad física con respecto al sistema de coordenadas que se esté utilizando. En este
capítulo estudiaremos la forma en que vamos a llevar a cabo las derivadas de esos campos
para sistemasde coordenadas curvilíneos generalizados y llegaremos a las expresiones para
los operadores diferenciales, es decir, el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano
para tensores de cualquier orden.
3.1.
Derivadas parciales de los vectores base:
Los símbolos de Christoffel
Sean un sistema coordenado cartesiano y un sistema coordenado curvilíneo
en 3 , con lapropiedad de que sean mutuamente inversos el uno del otro, de tal forma que
para = 1 : 3,
µ ¶
¡ 1 2 3¢
¡ 1 2 3¢
0
(3.1)
=
det
=
Entonces sus respectivos vectores base están relacionados uno al otro por
g (x) = î
ˆ
î = g (x)
ˆ
(3.2)
Tomando la derivada parcial de g (x) con respecto a lacoordenada espacial , se obtiene
ˆ
µ
¶
ˆ
g
2
î = î
=
(3.3)
Sustituyendo î
ˆ
g
2
=
g =
ˆ
¾
g
ˆ
½
(3.4)
81
donde
½
¾
= Γ =
2
para = 1 : 3
(3.5)
son definidos como los símbolos de Christoffel de segundo tiporelativos al sistema coordenado curvilíneo .
Los símbolos de Christoffel son simétricos con respecto a y ,
½ ¾ ½ ¾
(3.6)
=
por lo que para 3 se tienen 18 diferentes combinaciones de los índices.
Los símbolos de Christoffel esencialmente representan las derivadas parciales de los
vectores base de un sistema coordenado curvilíneo con respecto a las variables coordenadas.Ejemplo. Calcula los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas polares cilíndricas.
Para obtener los símbolos de Christoffel requerimos de las ecuaciones de la transformación de coordenadas de este sistema, las cuales son
³¡ ¢
¡ ¢2 ´ 1
2
2
1 + 2
1 = 1 cos 2
³ 2´
2 = 1 sin 2
2 = = arctan 1
1 = =
3 = 3
3 = 3
y utilizando la Ec. 3.5 ydesarrollando la suma para el índice , se tiene
½ ¾
2
2 1
2 2
2 3
=
=
+
+
1
2
3
Sustituyendo para cada uno de los índices libres
½ ¾
1
1 2
= 1 1 =0+0+0
11
½
¾
¡ 1
¢
¡ 1
¢
1
2
1
2
− cos 2 + ³
=³
´1
´ 1 − sin
22
2
2
( 1 )2 + ( 2 )2
( 1 )2 +( 2 )2
=
¢ 1 sin 2 ¡ 1
¢
1 cos 2 ¡ 1
− cos 2 +
− sin 2 = −1
1
1
82
¾ ½ ¾
2
2
=
=
12
21
½
=
2
( 1 )2
2
1
− (1 )2 ¡
¢
¡
¢
2
1
− sin 2 +
³ ´2
³ ´2 cos
2
2
1 + 1
1 + 1
( 1 )2 +( 2 )2
( 1 )2
2
sin 2 +
1
1
( 1 )2 +( 2 )2
( 1 )2
1
cos 2
sin 2 +
cos 2
( 1 )2 + ( 2 )2
( 1 )2 + ( 2 )21 sin 2
1 cos 2
1
cos 2 = 1
=
sin 2 +
2
1)
(
(1 )
=
y
½
para todas las demás combinaciones.
3.1.1.
¾
=0
Símbolos de Christoffel de primer tipo
Los símbolos de Christoffel de primer tipo están definidos como
½ ¾
[ ] =
(3.7)
Los símbolos de Christoffel de segundo tipo se pueden obtener de los del primer tipo utilizando eltensor métrico recíproco de la siguiente forma
½ ¾
½ ¾
½ ¾
=
=
(3.8)
[ ] =
Calculando la derivada parcial del tensor métrico fundamental
ˆ
g
ˆ
g
=
(ˆ · g ) =
g ˆ
· g + g ·
ˆ
ˆ
½ ¾
½ ¾
=
g · g + g ·
ˆ ˆ
ˆ
g
ˆ
½ ¾
½ ¾
+
=
= [ ] +...
Capítulo 3
Cálculo tensorial
Una parte fundamental en el estudio de los fenómenos físicos es el cálculo de
la rapidez de cambio que tienen los diferentes tipos de campos que representen alguna
propiedad física con respecto al sistema de coordenadas que se esté utilizando. En este
capítulo estudiaremos la forma en que vamos a llevar a cabo las derivadas de esos campos
para sistemasde coordenadas curvilíneos generalizados y llegaremos a las expresiones para
los operadores diferenciales, es decir, el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano
para tensores de cualquier orden.
3.1.
Derivadas parciales de los vectores base:
Los símbolos de Christoffel
Sean un sistema coordenado cartesiano y un sistema coordenado curvilíneo
en 3 , con lapropiedad de que sean mutuamente inversos el uno del otro, de tal forma que
para = 1 : 3,
µ ¶
¡ 1 2 3¢
¡ 1 2 3¢
0
(3.1)
=
det
=
Entonces sus respectivos vectores base están relacionados uno al otro por
g (x) = î
ˆ
î = g (x)
ˆ
(3.2)
Tomando la derivada parcial de g (x) con respecto a lacoordenada espacial , se obtiene
ˆ
µ
¶
ˆ
g
2
î = î
=
(3.3)
Sustituyendo î
ˆ
g
2
=
g =
ˆ
¾
g
ˆ
½
(3.4)
81
donde
½
¾
= Γ =
2
para = 1 : 3
(3.5)
son definidos como los símbolos de Christoffel de segundo tiporelativos al sistema coordenado curvilíneo .
Los símbolos de Christoffel son simétricos con respecto a y ,
½ ¾ ½ ¾
(3.6)
=
por lo que para 3 se tienen 18 diferentes combinaciones de los índices.
Los símbolos de Christoffel esencialmente representan las derivadas parciales de los
vectores base de un sistema coordenado curvilíneo con respecto a las variables coordenadas.Ejemplo. Calcula los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas polares cilíndricas.
Para obtener los símbolos de Christoffel requerimos de las ecuaciones de la transformación de coordenadas de este sistema, las cuales son
³¡ ¢
¡ ¢2 ´ 1
2
2
1 + 2
1 = 1 cos 2
³ 2´
2 = 1 sin 2
2 = = arctan 1
1 = =
3 = 3
3 = 3
y utilizando la Ec. 3.5 ydesarrollando la suma para el índice , se tiene
½ ¾
2
2 1
2 2
2 3
=
=
+
+
1
2
3
Sustituyendo para cada uno de los índices libres
½ ¾
1
1 2
= 1 1 =0+0+0
11
½
¾
¡ 1
¢
¡ 1
¢
1
2
1
2
− cos 2 + ³
=³
´1
´ 1 − sin
22
2
2
( 1 )2 + ( 2 )2
( 1 )2 +( 2 )2
=
¢ 1 sin 2 ¡ 1
¢
1 cos 2 ¡ 1
− cos 2 +
− sin 2 = −1
1
1
82
¾ ½ ¾
2
2
=
=
12
21
½
=
2
( 1 )2
2
1
− (1 )2 ¡
¢
¡
¢
2
1
− sin 2 +
³ ´2
³ ´2 cos
2
2
1 + 1
1 + 1
( 1 )2 +( 2 )2
( 1 )2
2
sin 2 +
1
1
( 1 )2 +( 2 )2
( 1 )2
1
cos 2
sin 2 +
cos 2
( 1 )2 + ( 2 )2
( 1 )2 + ( 2 )21 sin 2
1 cos 2
1
cos 2 = 1
=
sin 2 +
2
1)
(
(1 )
=
y
½
para todas las demás combinaciones.
3.1.1.
¾
=0
Símbolos de Christoffel de primer tipo
Los símbolos de Christoffel de primer tipo están definidos como
½ ¾
[ ] =
(3.7)
Los símbolos de Christoffel de segundo tipo se pueden obtener de los del primer tipo utilizando eltensor métrico recíproco de la siguiente forma
½ ¾
½ ¾
½ ¾
=
=
(3.8)
[ ] =
Calculando la derivada parcial del tensor métrico fundamental
ˆ
g
ˆ
g
=
(ˆ · g ) =
g ˆ
· g + g ·
ˆ
ˆ
½ ¾
½ ¾
=
g · g + g ·
ˆ ˆ
ˆ
g
ˆ
½ ¾
½ ¾
+
=
= [ ] +...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.