Calculo I

´
Universidad Andres Bello
Facultad de Ciencias Exactas
´
Departamento de Matematicas

C´lculo I (FMM033)
a
Gu´ 3
ıa
Funciones
1. Considere la funci´n real dada por la f´rmula
o
o
f (x) =

4x + 5
.
x+3

Encuentre f (9). Encuentre Dom f .
2. Considere la funci´n f (x) =
o

(a−1)x−1
.
ax+2

Determine a para que f (1) = 1/5.

3. Sea f la funci´n real definida por:
o
−2

2x + 1
f (x) =

3x2

si
si
si

x < −1
−1 ≤ x ≤ 1
x≥1

Calcular f (5), f (0), f (1), f (−1). Determinar los conjuntos Dom f e Im f .
4. Si consideramos una funci´n real dada por una f´rmula f (x), llamamos dominio de
o
o
definici´n de f al m´ximo subconjunto de R donde f est´ bien definida. Hallar los
o
a
a
dominios de definici´n de las siguientes funciones.
o
1
a) f(x) = x .

b) f (x) =

3x+5
.
x−8

c) f (x) = 4x + 7.
√
d ) f (x) = x.
e) f (x) =

3x+1
.
x−2

f ) f (x) = |x + 3|.
g) f (x) =
h) f (x) =
i ) f (x) =

a
.
x−b
3
.
x+|x|

√
2x2 + 5x − 12.

x2 +3x−4
.
x2 +5x+6

j ) f (x) =
k ) f (x) =

√
√
x − 1 + 2 − x.

5. Considere la funci´n dada por la expresi´n f (x) = x3 − x + 1.
o
o
a) Calcule f (0), f (3), f(1/2), f (x + h), f (−1 + y),

f (x)−f (a) f (x+h)−f (x)
,
.
x−a
h

b) Resuelva f (x) = f (1 + x).
c) Resuelva 8f (x) = f (2x).
6. Dada una funci´n f : Dom f → R y a, c ∈ R, definimos las siguientes funciones:
o
f1 (x) = f (x) + c
f2 (x) = f (x + c)
f3 (x) = af (x)
f4 (x) = f (ax)
f5 (x) = |f (x)|
Graficar f1 , . . . , f5 para las funciones indicadas a continuaci´n. Distinga los casosc > 0,
o
c < 0, a < −1, a = −1, −1 < a < 0, 0 < a < 1, a = 1, a > 1. Encuentre la relaci´n
o
entre Dom fi y Dom f .
a) f (x) = x.
b) f (x) = x2 .
√
c) f (x) = x.
d ) f (x) = sen x.
e) f (x) = |x|.
1
f ) f (x) = x .

7. Considere las funci´n f : R → R tal que f (x + 1) = 2x + 5. Determine f (x).
o
8. Sea f : R → R, definida como f (x) = −x2 + 6x − 5. Analice las siguientes funcionesg : R → R.
a) g(x) = f (x).
b) g(x) = |f (x)|.
c) g(x) = f (|x|).
d ) g(x) = |f (|x|)|.
9. En los siguientes casos suponga f : Dom f → R. Indique dominio e imagen. Grafique.
Indique intervalos de monoton´ Deduzca cuales de ellas son injectivas y/o sobreyecıa.
tivas.
a) f (x) = 3.
b) f (x) = 2x + 4.
c) f (x) =

2x+4
.
x−1

d ) f (x) =

x
2

+ 3.

e) f (x) = (x − 1)2 .
f ) f(x) = −x2 + 4.
g) f (x) = 1 (x − 3)2 − 1.
2
h) f (x) = 2x2 − 3x + 1.
i ) f (x) = −x2 + x + 6.
j ) f (x) = −2x2 + 2x + 1.
k ) f (x) = − 1 (x + 3)3 .
2
l ) f (x) = |x − 1|.
m) f (x) = |x| + |x − 1|.
n) f (x) = |x2 − 2x − 3|.
n) f (x) = x|x|.
˜
o) f (x) =
p) f (x) =
q) f (x) =
r ) f (x) =
s) f (x) =

x−|x|
.
x
x
x + |x| .
1
.
x−3
2x−5
.
3x−12
4x+1
.
2x+3

√
x − 2.√
u) f (x) = 2x + 1 − 1.
t) f (x) =

v ) f (x) = [[2x]].
10. Determine si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes, pares, impares.
a) f (x) = 2x − 2.
b) f (x) = x2 + 2x.
c) f (x) = |x|.

6



2x + 1
d ) f (x) =
 x+7


9

x≤0
01
0 x≤1

g(x) =
Determine g ◦ f .
19. Sean f, g : R → R, definidas por f (x) =

x+2
3

a) Demuestre que f y g sonbiyectivas.
b) Encuentre (f ◦ g)−1 .

y g(x) = x3 − 2.

20. En los siguientes casos demuestre que f : Dom f → R es una funci´n biyectiva y
o
−1
encuentre f .
a) f (x) =
b) f (x) =

4x+2
.
x−3
x−3
.
2x+1

21. Considere la funci´n f : R → R definida como
o
 2
 x + 7 x ≤ −1
1/x −1 < x < 0
f (x) =

x+9 x≥0
a) Encuentre la ecuaci´n de la recta que pasa por (2, f (2)) y tienependiente 3.
o
b) Calcule f (f (−2)).
c) Represente gr´ficamente f .
a
22. Sean A y B subconjuntos de R y f : A → B una funci´n definida por f (x) = 4x2 +
o
4x − 3. Determine A y B a trav´s del gr´fico de f para que la funci´n sea biyectiva.
e
a
o
√
23. Considere las funciones f (x) = 2x + 2 y g(x) = x2 − 4.
a) Encuentre el dominio de f ◦ g.
b) Determine los conjuntos de n´meros reales A...