CalculoII 4

C´alculo para la ingenier´ıa
Tomo II
Salvador Vera
9 de enero de 2005

ii
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

´Indice general
7. Series Num´
ericas
1
7.1. El signo del sumatorio: Sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7.1.1. Propiedades del sumatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
7.2. Series num´ericas. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
3
7.2.1. Convergencia y suma de la serie aplicando la definici´
on . . .
6
7.2.2. Dos series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7.2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.2.4. La serie geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2.5. Convergencia y suma de la serie geom´etrica . . . . . . . . . . 13
7.2.6. Agrupaci´on y descomposici´on de t´erminos . . . . . . . . . . . 15
7.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.1. Series de t´erminos positivos (no negativos) . . . . . . . . . . 17
7.3.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3.3. Series de t´erminos de signo cualesquiera . . . . . . . . . . . . 37
7.3.4. Aplicaci´
on delcriterio de D’ Alembert al c´alculo de l´ımite de sucesiones 40
7.4. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.1. Aplicando la definici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.4.2. Series geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.4.3. Series aritm´etico-geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.4.4. Serieshipergeom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4.5. Series telesc´opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4.6. Descomposici´on en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 51
7.4.7. Series que se obtienen a partir del n´
umero e . . . . . . . . . . 53
Ejercicios y problemas del Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. Series funcionales. Series deFourier
87
8.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.4. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . 89
8.2.Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.1. Desarrollo de funciones en series de potencias . . . . . . . . . 96
8.2.2. Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos100
8.2.3. Derivaci´
on e integraci´on de las series de potencias . . . . . . 103
8.2.4. Aplicaciones de las series de potencias para el c´alculo deintegrales definidas110
8.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.1. Funciones peri´
odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

iii

´INDICE GENERAL

iv
8.3.2.
8.3.3.
8.3.4.
Ejercicios y

Serie de Fourier de periodo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Condiciones suficientes de la desarrollabilidad de una funci´
on en serie deFourier117
Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier122
problemas del Cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

161

Bibliograf´ıa

163

´
Indice alfab´
etico

164

Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Cap´ıtulo 7

Series Num´
ericas
7.1.

El signo del sumatorio: Sigma Σ

La suma de n t´erminosconsecutivos se representa de la siguiente forma:
a1 + a2 + · · · + an =

n

L´ımite superior

ai

L´ımite inferior
´Indice

i=1

El ´ındice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan
las letras i, j, k, n; pero no puede coincidir con los l´ımites de la suma. As´ı,
a3 + a4 + · · · + an =

n

n

ak =
k=3

n=3

an

Nota: El l´ımite inferior del sumatorio no tiene por qu´e ser 1,...