CalculoII

APUNTES DE CLASES

CALCULO II
Ingenier´ıa Forestal e Ingenier´ıa en Industrias de la Madera

Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
Instituto de Matem´atica y F´ısica

c 2004 Universidad de Talca

1

Introducci´
on

Estos apuntes representan un esfuerzo por entregar a los alumnos los contenidos del curso
sin necesidad de textos gen´ericos, de esos grandes volumenes de ”C´alculo con Geometr´ıaAnal´ıtica”. Todos esos libros, contienen mucho m´as que lo que estos apuntes pretenden. Sin
duda pueden resultar ser buenos aliados de los estudiantes, pero no siempre representan el
ritmo o intensidad de la asignatura.
Este no es un libro, como su nombre lo indica es un apunte de clases, que intenta presentar
la materia en el orden, profundidad y ritmo que se ha establecido en los semestres que me hatocado dictar esta asignatura, desde el a˜
no 1999. Cada semestre es una experiencia diferente,
pero a pesar de esta diversidad, lo tratado intenta darle a los alumnos los elementos b´asicos
de la integraci´on en varias variables, los elementos iniciales del c´alculo vectorial y apenas
una pincelada de ecuaciones diferenciales de primer orden. Esperamos en versiones futuras
entregar tambi´enalgunos elementos de ecuaciones homog´eneas de orden superior.
Si hay algo importante ausente en estos apuntes, esto es la falta de aplicaciones propias de
las ciencias forestales. Este trabajo pendiente demandar´a de los autores una mayor conexi´on
con los especialistas del ´area, de modo de complementar la teor´ıa con las necesidades m´as
concretas de la profesi´on.
Estimados alumnos, estos apuntes seponen a su disposici´on para ser usados, rayados y
compartidos. La clase ser´a m´as f´acil de seguir con estos apuntes a su lado. Dado que estos
apuntes no pretenden ser definitivos, esperamos enriquecerlos con sus comentarios y cr´ıticas.
En los Cap´ıtulos III, IV y V encontrar´an ejercicios que han sido usados en diversas pruebas
a los largo de los a˜
nos. Tambi´en, en el u
´ltimo cap´ıtulohemos procurado incorporar pruebas
resueltas, para permitirles aprender a partir de la lectura y reflexi´on de la soluciones.
Por u
´ltimo, la matem´atica es una ciencia que no se puede apropiar sin una pr´actica extensiva
e intensiva. Si hay algo que he aprendido en todos estos a˜
nos de ense˜
nanza es que los alumnos
deben tener la mente abierta, una actitud de claro riesgo, sin temor a errar (loque se dar´ıa
en llamar un emprendedor). En el desarrollo de los ejercicios se suelen cometer errores. Al
comenzar a resolver un problema muchas veces no se sabe qu´e herramientas usar, no se sabe
si se tendr´a ´exito; es este miedo a fallar, tal vez, la m´as grande barrera que se debe vencer.

2

´Indice General

1 Integrales Dobles

6

1.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Integraci´on sobre rect´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Integrales Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Regiones de Integraci´on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Integrales dobles sobre regiones de tipo I, II y III . . . . . . . . . . . . ..

19

1.6

Diferencia entre la integral doble y la integral iterada . . . . . . . . . . . . .

22

2 Integrales Dobles en Coordenadas Polares

29

2.1

Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2

Relaci´on entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas . . . . . . . .

31

2.3

Ecuaciones Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

34

2.4

Gr´aficos Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5

Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.6

Ejemplos de c´alculos de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.7

Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55...