Calculointegral

Función inversa o recíproca
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición esla función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
3Se intercambian lasvariables.
Calcular la función inversa de:





Vamos a comprobar el resultado para x = 2


















Ejercicios de función inversa
Hallar la función inversa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Probar que:
2Probar que:
11
Probar que:
Dominio de una función

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}

Conjunto inicial Conjunto finalDominio Conjunto imagen o recorrido







Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2 - 5x + 6             D=R
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).


Dominio de la funciónirracional de índice impar
El dominio es R.


Dominio de la función irrracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.











Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.


Dominio de la función exponencial
El dominioes R.
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente


Dominio de la función cotangente


Dominio de la función secante


Dominio de la función cosecante


Dominio de operaciones con funciones
Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Dominio
D(g o f) = {x Df / f(x) Dg}
Propiedades
Asociativa:f o (g o h) = (f o g) o h
No es conmutativa.
f o g ≠ g o f
El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f

Sean las funciones:


































Máximos y mínimos absolutos y relativos
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto deldominio de la función.

a = 0
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b)es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08

Cálculo de máximos y mínimos relativos









Crecimiento y decrecimiento
Tasa de variación
El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.
t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en...