Campo magnetico en el interior de un conductor

c Rafael R. Boix y Francisco Medina

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Condensador de placas paralelas relleno con un
material dieléctrico

Consideremos un condensador compuesto por dos placas conductoras rectangularesparalelas de dimensiones w × l (vea la
figura). Las placas están conectadas a una pila (generador de
corriente continua) que fija la diferencia de potencial entre placas en un valor V . El espacio entreplacas está ocupado por un
material dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo de permitividad r 0. En este ejemplo se van a calcular los vectores campo
eléctrico, desplazamiento y polarización en elinterior del dieléctrico, suponiendo despreciables los efectos de borde. A partir de
los vectores desplazamiento y polarización, se van a determinar
las densidades de carga libre sobre las placasconductoras y las
densidades de carga polarización en el material dieléctrico. Una
vez conocidas las cargas libres sobre las placas conductoras, se

c Rafael R. Boix y Francisco Medina

2llevará a cabo el cálculo de la capacidad del condensador.
En primer lugar, vamos a obtener la ecuación diferencial que
satisface el potencial φ = φ(r) en la región dieléctrica situada
entre las placas–región: 0 < x < d, 0 < y < w, 0 < z < l–. Para
ello, es necesario tener en cuenta que en esa región dieléctrica no
puede haber cargas libres, con lo cual, la expresión diferencial de
la formageneralizada del teorema de Gauss en dicha región toma
la forma
∇·D=0
Pero en la región dieléctrica se cumple que:
D = r 0E = − r 0∇φ =⇒ ∇ (−
=⇒ ∇ · (∇φ) = 0 =⇒ ∇2φ = 0

r 0 ∇φ)

=0

lo cual nosindica que el potencial satisface la ecuación de Laplace
en la región dieléctrica. Para poder resolver esta ecuación, vamos
a despreciar los efectos de borde del campo eléctrico en las placasconductoras (vea la figura). En ese caso, dado que el campo eléctrico entre las placas llevará dirección perpendicular a las placas
–que es la dirección del eje x en las figuras–, podremos escribir
que...