CAP 6 PARTE 2

Mecánica de Sólidos

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

6.06) Teoremas de Mohr. Método del Área del Diagrama de Momentos
6.06.1)

Introducción. Definiciones

Los Teoremas de Mohr originan el método para calcular deflexiones conocido como
Método del Área del Diagrama de Momentos. Directamente, los Teoremas de Morh no
calculan flechas ni pendientes de la curva elástica, sino calculan ciertasdeflexiones
auxiliares (desviaciones).
Eje neutro inicial A
Definición)
Desviación vertical, medida en un punto de la
curva elástica, respecto a la recta tangente
trazada por otro punto, es el segmento
comprendido entre dicha recta tangente y la
posición deflectada del otro punto.
Generalmente δ AB  δBA .
Tangente por B
Definición)
Desviación angular de la pendiente en un
punto A, con respecto a otro puntoB, es el
ángulo orientado comprendido entre las rectas
tangentes a la curva elástica, trazadas por los
puntos de interés.
Convenio de Signos
(i) Desviaciones tangenciales

B
Elástica

Tangente por A
B

A

Tangente
final

Tangente
inicial

B
A

B

A

Negativa:
El punto B se sitúa bajo la recta
tangente de referencia.

Positiva:
El punto B se sitúa sobre la recta
tangente de referencia.
(ii)Desviaciones angulares

Inicial
A

B

B
Final

Final

A

Inicial

Positiva:
La recta tangente en el punto de
referencia situado a la derecha (B) se
obtiene girando en sentido antihorario
a la recta tangente trazada por el
punto situado a la izquierda (A).

Negativa:
Similar al caso anterior, con la
diferencia que la recta tangente
inicial gira en sentido horario hasta
convertirse en la recta tangentefinal.

733

Mecánica de Sólidos

6.06.2)

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

Teoremas de Mohr

Primer Teorema de Área de Momentos
“El cambio total de pendiente, desviación angular o ángulo entre las rectas tangentes a
la curva elástica trazadas en dos de sus puntos, es numéricamente igual al Área A,
limitada por el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos comprendido entre tales
puntos”.
B
A
M

MFinal

Inicial

Para deformaciones infinitesimales, con
aproximación suficiente:
dΦ
M
, de donde

dx EI Z
xB

ΦB  Φ A 



xA

ΦB

xB

ΦA

xA

M

 dΦ   EI

M
dx  Φ AB 
EI Z

xB

M

 EI

xA

dx . Efectuando las integraciones, obtenemos:

Z

dx

(1).

Z

La integral de la igualdad (1) es numéricamente igual al área A limitada por el
diagrama de momentos flectores reducidos, en el tramo deinterés.

A

Diagrama de momentos flectores reducidos
A  Φ AB .
Nota: Observar que el Primer Teorema de
Mohr no calcula directamente los ángulos
de giro o las pendientes de la curva elástica.

xA

A

A

B
xB

Segundo Teorema
“La desviación vertical (o tangencial) de un punto de la curva elástica, con respecto a
otro punto, es igual al Momento Estático del Área A limitada por el Diagrama de
MomentosFlectores Reducidos en el intervalo de interés, respecto de la vertical que
pase por el punto donde se requiere la desviación vertical”.

xA

xB
B

A
x

x

x

734

Mecánica de Sólidos

A partir de

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

dΦ
M

,
dx EI Z

M
dx . El segmento de longitud δBA se
EI Z
M
(2).
dx

x dΦ , es decir δBA  x x
EI
Z
L
(L  AB )

det er min amos dΦ 

calcula como una integral δBA



La integral de la igualdad (2) calcula la desviación vertical del punto B respecto a la
recta tangente trazada por el punto A. Dicha integral es numéricamente igual al
Momento Estático del Área A limitada por el Diagrama de Momentos Flectores
Reducidos, en el tramo de interés, con respecto a la vertical que pasa por el punto B
(del cual se mide su desviación vertical).
x
M/EIZ
Diagrama deMomentos Flectores Reducidos

dx

A

B Eje del
Momento
Estático

xA

xB
Nota)
Los Teoremas de Mohr son útiles para evaluar deflexiones verticales y rotacionales en
elementos sometidos a flexión. Sin embargo, su aplicación sólo es inmediata en los
casos donde sea posible definir una recta “tangente conocida” a la curva elástica.

A

A
B

B
En este caso particular:

En este caso particular:

Observar...