Cap10 Anc3a1lisis Espectral Con Fft V 12 01 01

Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 7. Análisis Espectral de Señales periódicas con FFT

Análisis espectral de señales
periódicas con FFT

Contenido
Pg.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

Introducción a la Transformada Discreta de Fourier
Uso de la Transformada Discreta de Fourier
Método de uso de la FFT
Cálculo de potencia en el dominio de la frecuencia
Cálculos de relación señal a ruido
Estimación delespectro de una señal aleatoria

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo

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3-12
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2009

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Sistemas de Comunicaciones
Capítulo 7. Análisis Espectral de Señales periódicas con FFT

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo

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2009

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Capítulo 7. Análisis Espectral de Señales periódicas con FFT

7.1. Introducción a la TransformadaDiscreta de Fourier
7.4.1. Transformada Discreta de Fourier
En matemáticas, la transformada Discreta de Fourier, designada con frecuencia por la abreviatura DFT (del
inglés Discrete Fourier Transform), y a la que en ocasiones se denomina transformada de Fourier finita, es
una operación ampliamente empleada en tratamiento de señales y en campos afines para analizar las
frecuencias presentes en unaseñal muestreada, resolver ecuaciones diferenciales parciales y realizar otras
operaciones, como convoluciones y correlaciones. La Transformada discreta de Fourier puede calcularse de
modo muy eficiente mediante el algoritmo FFT.
Hay dos situaciones a considerar en cuanto al uso de la Transformada Discreta de Fourier:
•
•

Sólo sirve para señales potencia del tipo periódico.
La mayoría de lasseñales a estudiar no son periódicas.

Considere ahora la secuencia de ܰ números complejos ܺ ൌ ‫ݔ‬଴ , ‫ݔ‬ଵ , ‫ ڮ‬, ‫ݔ‬ேିଵ , los cuales son muestras de una
señal analógica. Tal secuencia debe transformarse en la secuencia de ܰ números complejos ‫ ܨ‬ൌ
݂଴ , ݂ଵ , ‫ ڮ‬, ݂ேିଵ , las cuales son muestras del espectro de la señal analógica, según la fórmula:
ேିଵ

ଶగ

݂௞ ൌ ෍ ‫ݔ‬௡ ݁ ି௝௞ ே ௡ ;
௡ୀ଴

Siendo:
•
•
•
•݇ ൌ 0, ‫ ڮ‬, ܰ െ 1

(7.1)

݁ la base de los logaritmos naturales,
݆ la unidad imaginaria (݆ ଶ ൌ െ1)
ܰ es el número de muestras.
݂௞ ‫ܨ א‬

Esta transformada se denota de forma común mediante el símbolo ࣠ሼܺሽ,
La transformada de Fourier discreta inversa (por sus siglas en inglés IDFT, Inverse Discrete Fourier
Transform) se calcula, por otra parte, mediante:

ேିଵ

ଶగ
1
‫ݔ‬௡ ൌ ෍ ݂௞ ݁ ௝௞ ே ௡ ;
ܰ
௞ୀ଴

݊ ൌ0, ‫ ڮ‬, ܰ െ 1

(7.2)

Siendo que
•
•

‫ݔ‬௡ ‫ܺ א‬
ܰ el número de muestras

MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo

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Capítulo 7. Análisis Espectral de Señales periódicas con FFT

7.4.2. Transformada Rápida de Fourier
FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un algoritmo eficiente que permite calcular
la TransformadaDiscreta de Fourier (DFT) y su inversa. Así entonces, consideremos nuevamente la
secuencia de ܰ números complejos ܺ ൌ ‫ݔ‬଴ , ‫ݔ‬ଵ , ‫ ڮ‬, ‫ݔ‬ேିଵ , la cual debe transformarse en la secuencia de ܰ
números complejos ‫ ܨ‬ൌ ݂଴ , ݂ଵ , ‫ ڮ‬, ݂ேିଵ según la fórmula en la ecuación (7.1).
La evaluación directa de esa fórmula requiere ܱሺܰ ଶ ሻ operaciones aritméticas. Mediante un algoritmo FFT se
puede obtener elmismo resultado con sólo ܱሺܰ ݈‫ܰ ݃݋‬ሻ operaciones. En general, dichos algoritmos
funcionan para una ܰ, potencia de 2. Aunque también existen versiones menos rápidas para cualquier ܰ
par.
La idea que permite esta optimización es la descomposición de la transformada a tratar en otras
transformadas más simples y éstas a su vez en otras más simples hasta llegar a transformadas de 2
elementos ሺܰ ൌ 2ሻ. Unavez resueltas las transformadas más simples hay que agruparlas en otras de nivel
superior que deben resolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel más alto. Al final de este
proceso, los resultados obtenidos deben reordenarse.
Dado que la Transformada Discreta Inversa de Fourier es análoga a la Transformada Discreta de Fourier, con
distinto signo en el exponente y un factor...