Cap2 Sistemas de Ecuaciones

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/). Vol. 9, No 2. (Feb., 2009)

Algebra Lineal con Mathematica.
Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Carlos Arce S.
carce@cariari.ucr.ac.cr
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica

Contenido

1.1

1.2

Representación gráfica de sistemas en 2 variables.

3

1.1.1

6

Sistemas con más de 2 ecuaciones.

Búsqueda desoluciones: método de Gauss-Jordan.

7

1.2.1

Estrategia del procedimiento de solución

8

1.2.2

Sistemas con solución inmediata.

8

1.2.3

Matrices en la forma escalonada y escalonada reducida.

10

1.2.4

Operaciones elementales

12

1.2.5

Método de Gauss-Jordan: el ejemplo.

13

1.3

Teorema fundamental

14

1.4

Teorema de equivalencias

17

Ejercicios

17

1.5

Ejercicios propuestos

22

1.6Recursos

22

Ejercicios

22

Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS EN 2 VARIABLES.
El conjunto de puntos x, y que satisfacen una ecuación lineal en dos variables:
ax + by = c
pueden ser descritos en forma paramétrica, al despejar una de las variables en términos de
la otra.
Por ejemplo, si se despeja la variable y de la ecuación
2x − 4y = −3 ,
se tiene que y = (2x +3)/4 , además si se conviene en asignar a la variable x un valor a
arbitrariamente elegido —lo que llamaremos parámetro— entonces todos los puntos (x, y)
que satisfacen la ecuación se describen por:
x
y

=
t
= (2t + 3)/4

con t ∈ R

O equivalente como { (t, (2t + 3)/4) | t ∈ R }.

Algebra Lineal con Mathematica.. Carlos Arce S.
Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación eInternet (www.cidse.itcr.ac.cr)

3

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Naturalmente, la parametrización de los puntos que satisfacen la ecuación no es única, por
ejemplo, si se despeja la variable x de esta misma la ecuación se obtiene:
x
y

= (2t + 3)/4
=
t

con t ∈ R

O incluso, si en la primera parametrización se elige que x = 2s ,con x ∈ R , entonces
x

=

2s

y

= s+

3
con s ∈ R
4
es otra posible parametrización.

EJEMPLO 1.1

Obtenga una parametrización para cada ecuación del sistema:
2x − 4y = −3
2x + y =
6
y utilice ParametricPlot para dar una representación gráfica del conjunto solución
de cada ecuación. Resuelva el sistema.
In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}}, {t, -1, 5}];
8
6
4
2
-1

1

2

3

45

-2
-4

In[ ]:= Solve[{2x - 4y == -3, 2x + y == 6}, {x, y}]
Out[ ] =
21
9
x → ,y →
10
5
Observe que en el gráfico anterior, se emplean distintas escalas en el eje X y eje Y .
Usted puede obligar a Mathematica a utilizar la misma escala agregando la siguiente
"opción".
In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}}, {t, -1, 5},
AspectRatio → Automatic]; }
8

6

4

2

-1

1
-2

-4

2

3

45

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS EN 2 VARIABLES.

5

Y limitar el rango del eje Y en la siguiente forma:
In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 3)/4}, {t, 6 - 2t}},{t, -1, 5},
AspectRatio → Automatic], }
PlotRange -> {-1, 4}];
4

3

2

1

-1

1

2

4

3

5

-1

EJEMPLO 1.2

Dé una representación gráfica para el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
2x
−x

− 4y
+ 2y

= −6
=
6

In[ ]:=ParametricPlot[{{t, (2t + 6)/4}, {t, (6 + t)/2 }
}, {t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic, PlotRange → {0, 5}];
5
4
3
2
1

-1

1

2

3

4

5

Del gráfico se observa que no hay puntos que satisfagan, simultáneamente, ambas
ecuaciones, es decir, el sistema no tiene solución. También se dice que el sistema
es inconsistente Qué resultado se obtiene con Mathematica al tratar de buscar soluciones?
In[ ]:=Solve[{2x - 4y == -6, -x + 2y == 6}, {x, y}]
Out[ ] = {}
EJEMPLO 1.3

Represente gráficamente y obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones
lineales.
2x
−x

− 4y
+ 2y

= −6
=
3

In[ ]:= ParametricPlot[{{t, (2t + 6)/4}, {t, (3 + t)/2 }
}, {t, -1, 5}, AspectRatio → Automatic,PlotRange → {-1, 4}];

6

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