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Capítulo 1

Trigonometría
La palabra Trigonometría signi…ca "Medida de los triángulos", por lo que durante mucho tiempo
se entendió como el estudio de problemas relativos a la medida de los lados y los ángulos de un
triángulo. Su origen data aproximadamente hace 2000 años, en Grecia. Sin embargo, en el último
siglo se ha aplicado en el estudio de problemas de ondas, oscilaciones y también enfenómenos
periódicos.

1.1.

Sistemas de medición angular

El concepto de ángulo desempeña un papel importante en el estudio de las funciones trigonométricas, su de…nición se supondrá conocida por el lector. A cada ángulo se asocia un número real llamado
medida angular. La medida angular es positiva o negativa si la rotación del lado terminal del ángulo es positiva o negativa. Se entiende por rotaciónpositiva aquella efectuada en sentido contrario
al giro de las manecillas del reloj y negativa aquella efectuada en el mismo sentido de las manecillas
del reloj.

Los dos sistemas más usados para determinar la medida angular son :
4

i) Sistema sexagesimal (medida en grados).
ii) Sistema circular (medida en radianes).
De…nición 1.1 El ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es iguala
o

circunferencia de un círculo tiene una medida que se llama un grado. Se denota 1 .

1
360

de la

Un grado constituye la unidad de medida en el sistema sexagesimal. Son divisiones comunes de esta
1
1
de un grado y el segundo que corresponde a
de un
unidad el minuto que es igual a
60
60
minuto. Se denotan respectivamente : 10 y 1".
Observación 1.1 De lo anterior 45o 16’ 48" se lee 45 grados,16 minutos, 48 segundos y es
equivalente a 45o 16,8’ (reduciendo los segundos a décimas de minuto) o 45,28o (reduciendo los
minutos a décimas de grado).
De…nición 1.2 El ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de un
círculo tiene una medida que se llama un radián. Se denota: 1 [rad]

Un radián constituye la unidad de medida en el sistema circular. La división comúnde esta
1
unidad es el miliradián que es igual a
[rad].
1000

1.1.1.

Relación entre grados y radianes

Como un ángulo completo subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia (2 r) entonces mide 2

[rad], mientras que su medida en grados es 360o . Por lo tanto,
2

= 360o
180
1 [rad] =
[rad]

1o

=

180

[rad] :

Ejemplo 1.1 Convertir las siguientes medidas en radianes:

5

1. 45o
2.210o
3. 112o 400
Solución Usando la relación entre grados y radianes, se tiene:
h
i
[rad]
1. 45o = 45
[rad] =
180
4
i
h
7
[rad] =
2. 210o = 210
[rad]
180
6
i
169
338
338 h
7
[rad] =
3. 112o 400 =
=
[rad] :
[rad]
3
3
180
270
6
Ejemplo 1.2 Convertir las siguientes medidas en grados:

1.

2

[rad]

2.

3
[rad]
5

3.

1
[rad]
4

Solución Usando la relación entre grados y radianes, se tiene:
1.

2[rad] =

180o
2

2.

3
3
[rad] =
5
5

3.

1
1
[rad] =
4
4

= 90o

180o
180o

= 108o
14; 32394488o

14o 190 26"

La siguiente tabla muestra la equivalencia entre la medida en grados y la medida en radianes
para los ángulos de uso más frecuente.

Grados
Radianes

360
2

270
3
2

180

135
3
4

6

90

60

45

30

2

3

4

6

0
0

Observación 1.2 Tradicionalmente se ha convenido en entender que cuando nose especi…can las
unidades para la medida de un ángulo, éstas corresponden a radianes. Además, es común referirse
a un ángulo mencionando únicamente su medida. Por ejemplo, el ángulo de la siguiente …gura se
denomina ángulo AOB cuya medida es de 90 .

7

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Expresar en grados cada una de las siguientes medidas:
4
5
11
b)
4
15
c)
8
10
d)
7
a)

2. Expresar en radianes cada unade las siguientes medidas:
a) 27o 100
b) 540o
c)

840o

d)

300o

3. Localice sobre una circunferencia unitaria los puntos determinados por ángulos del centro de
medidas:
13
6
7
b)
4
9
c)
4
5
d)
3
a)

8

1.2.
1.2.1.

Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

1. La distancia entre dos puntos del plano R2 ; P1 = (x1 ; y1 ) y P2 = (x2 ; y2 ) está dada...