capitulo 3 motores de corriente alterna

Matrices
• Matriz: Conjunto de elementos ordenados en filas y columnas
• Los elementos pueden ser números reales o complejos
• En este curso solo se consideran matrices con elementos reales
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nnnnnnaaaaaaaaaLMOMMLL212222111211
• Las matrices son denotadas por letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C, etc.)
• A cada matriz esta asociado un número de filas y columnas, por ejemplo:A de m x n, es decir, la matriz A de m renglones y n columnas
• Notación: A = ][ija
• Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y los elementos correspondientes son iguales.
Matrices especiales
Triangular Superior
Triangular Inferior
Diagonal
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
m m mn a a a
a a
a
L
M M M M
L
K
1 2
21 22
11
0
0 0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣⎡
mn a
a
a
L
M M M M
L
K
0 0
0 0
0 0
22
11
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
K
1 2
12 22 2
11 12 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 0
0 0 0
0 0 0
L
M M O M
L
K
Cero
Simétrica
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mnnnaaaaaaLMMMMLK00022211211
Identidad
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001LMOMMLK
Matriz Transpuesta
• La matriz transpuesta se obtiene cuando seintercambian las filas por las columnas.
• La transpuesta de la matriz A de orden m x n, nos da una matriz de orden n x m
• Una matriz es simétrica si A = AT
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mnmmnnaaaaaaaaaALMMMMLK212222111211
ALGEBRA LINEAL 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mnnnmmTaaaaaaaaaALMMMMLK212221212111
Ejemplos
Triangular superior
Triangular inferior
Diagonal
Identidad
Simétrica
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−500260431 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−357012004⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500060002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡235364541
Matriz Transpuesta
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=587265431A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=524863751TA
Operaciones elementales
Suma de matrices
Para poder realizar lo suma de dos Matrices A y B es necesario que estas sean del MISMO ORDEN y cadaelemento de lo primera matriz se sumará con el correspondiente elemento de la segunda matriz aclararemos lo anterior con la siguiente definición:
][][ijijbaBA+=+
Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=18496243A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=38035421B
ALGEBRA LINEAL 2 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA YELÉCTRICA
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=+416412116643188043956422413BA
Propiedades:
)][][(][][)][][(ijijijijijijcbacba++=++ (A+B)+C = A+(B+C) asociativa
][][][][ijijijijabba+=+ A+B = B+A conmutativa
Producto de una matriz por un escalar
Una Matriz de orden m x n puede ser multiplicada por un número diferente de cero dando como resultado otra matriz del mismo orden:
El producto de una Matriz A deorden m x n por una constante no nula α es la Matriz αA de orden m x n que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por la constante k dando como resultado:
ijaAαα=
Si 3=α y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=5342A⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=159126Aα
Propiedades
()BABAααα+=+ distributiva
()AAAβαβα+=+
()(AA ) βααβ= asociativa
con ℜ∈ℜ∈βα,
Multiplicación de matrices
Para multiplicar dos matrices A y B es REQUISITO ( necesario ) que elnúmero de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, obteniendo una Matriz resultante que estará formada con el número de filas de la primera Matriz y con el número de columnas de la segunda Matriz. Si C es el producto de A * B entonces:
pmpnnmCBA×××=*
ALGEBRA LINEAL 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DENUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mnmmnnaaaaaaaaaALMOMMLL212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=npnnppbbbbbbbbbBLMOMMLL212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mpmmppcccccccccCLMOMMLL212222111211
Σ==nkkjikijbaC1
Ejemplo:
Calcular el producto de las matrices A * B de ser posible.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=450123A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=560230145321B⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=∗20111321101177BA...