CAPITULO II VECTORES

VECTORES EN IRn

1.- Introducción.-

En varias aplicaciones físicas aparecen ciertas cantidades, tales como la temperatura y rapidez (módulo de la velocidad), que poseen sólo magnitud. Estas pueden representarse por números reales y se denominan escalares. Por otra parte también existen cantidades, tales como fuerza y velocidad, que poseen tanto magnitud como dirección. Estas puedenrepresentarse por flechas (que tienen longitudes y direcciones apropiadas y parten de algún punto de referencia dado, 0) y se denominan vectores.

2.- Operaciones con Vectores.-
i) Suma: La resultante u + v de dos vectores u y v se obtiene por la llamada ley del paralelogramo; esto es, u + v es la diagonal del paralelogramo determinado por u y v.

ii) Producto por un escalar: El producto ku de un número realk por un vector u se obtiene multiplicando la magnitud de u por k y manteniendo la misma dirección si k ≥ 0, o la dirección opuesta si k<0.

Suponemos que el lector está familiarizado con la representación de puntos en el plano mediante pares ordenados de números reales. Si se elige el origen de los ejes como el punto de referencia 0 mencionado más arriba, todo vector queda unívocamentedeterminado por las coordenadas de su extremo. La relación entre las operaciones anteriores y los extremos es la siguiente:
i) Suma: si (a, b) y (c, d) son extremos de los vectores u y v, entonces (a + c, b + d) será el extremo de u + v

ii) Producto por un escalar: Si (a, b) es el extremo del vector u, entonces (ka, kb) será el del vector ku.


Vectores en R”
El conjunto de todas las n-plas de númerosreales, denotado por Rn, recibe el nombre de n-espacio. Una n-pla particular en Rn, digamos
u= (u1, u2,…..., un)
se denomina punto o vector; los números reales ui son las componente (o coordenadas) del vector u. además, al discutir el espacio Rn, utilizamos el término escalar para designar a los elementos de R.







Ejemplo 2.1


Suma de Vectores y Producto por un Escalar
Sea u y v vectores en RnLa suma de u y v, escrito u + v, es el vector obtenido sumando las componentes correspondientes de éstos:

El producto de un número real k por el vector u, escrito ku, es el vector obtenido multiplicando cada componente de u por k:

Obsérvese que u+v y ku son también vectores en R”. Definimos, además,

La suma de vectores con diferente número de componentes no está definida.

Teorema 2.1: paravectores arbitrarios u, v, w € Rn y escalares arbitrarios k, k’ €R

Supongamos que u y v son vectores en Rn y que u= kv para algún escalar no nulo k € R.
Entonces u se llama un múltiplo de v. se dice que u está en la misma dirección que v si k>0, y en la dirección opuesta si k<0.


3.- Vectores y Ecuaciones Lineales.-
Dos importantes conceptos relativos a vectores, las combinaciones lineales y ladependencia lineal, están estrechamente relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales, como se verá a continuación:

Combinaciones Lineales:
Consideremos un sistema inhomogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:

Este sistema es equivalente a la siguiente ecuación vectorial:

Esto es, la ecuación vectorial

Donde u1, u2, …, un, v son los vectores columnas anteriores, respectivamente.
Si elsistema en cuestión tiene una solución, se dice que v es una combinación vectores ui. Establezcamons formalmente este importante concepto.


Definición:
Un vector v es una cobinación lineal de vectores u1, u2, …,un si existen escalares k1, k2, …, kn tales que

esto es, si la ecuación vectorial

tiene una solución cuando los xi son escalares por determinar.
La definición anterior se aplica tanto avectores columna como a vectores filas, aunque se haya ilustrado en terminos vectoriales columna.

Ejemplo 2.2
Sean:










4. Dependencia e Independencia lineal
Consideremos de un sistema homogéneo de m ecuaciones con n de incógnitas.


Este sistema es equivalente a la ecuación vectorial

Esto es

Donde son los vectores de la columna anterior. Si el sistema homogéneo anterior tiene una...