Caracteristicas De Las Regiones Planas

CAPITULO V.
CARACTERISTICAS DE LAS REGIONES PLANAS.
Las características geométricas de las secciones transversales, son empleadas fundamentalmente en problemas del capítulo de Flexión, pero el carácter de su aplicación en ciertas ecuaciones de Torsión se plantea en este capítulo.
MOMENTOS ESTATICOS DE LA SECCION.
Toda la superficie de la sección F, se determinan por la fórmula:
F=dF
(1.5)Se denomina momento estático de una sección respecto de un eje a la integral del producto de las superficies elementales dF por su distancia al eje considerado, (en cualquier sección) (fig. 1.5).
Sz=Fy dF Sy=Fz dF
(2.5)
Unidades – [cm3];[m3].
Para una sección compuesta de n partes, las ecuaciones son:

Sz=Fy dF=i=1nszi Sy=Fz dF=i=1nsyi

Syi y Syi son los Momentos estáticos de laparte i de la sección respecto a los ejes Z y Y respectivamente.
El momento estático de una sección compuesta respecto de un eje cualquiera, es igual a la suma de los momentos estáticos de todas las partes de la sección considerada respecto de este eje.
No se puede sumar los momentos estáticos de las partes de la sección que se calculan con respecto a distintos ejes.
Veamos la sección, mostrada(fig. 2.5) Si se desplazan paralelamente los ejes, los momentos estáticos varían, veamos el ejemplo:
El momento estático Sz de la parte de la sección, ubicada sobre el eje z, es positiva y abajo negativa y de menor valor absoluto; por ello, Sz es positivo.
Ahora establezcamos la dependencia entre los momentos estáticos de la misma sección respecto de dos ejes paralelos entre si Z y Z1 (fig.3.5). Las ecuaciones de los momentos estáticos respecto de estos ejes en base a la ecuación (2.5) tienen la forma siguiente:
Sz1=Fy1 dF Sz=Fy dF
Como:
Y1=Y-a;
Por lo tanto:
Sz1=FY-adFFY dF-Fa dF=Sz-a F
O sea: Sz1=Sz-a∙F (4.5)
De igual forma: Sy1=Sy-b∙F (5.5)
b= distancia entre Z y Z1 a= distancia entre Y ^ Y1
Encontramos ahora la posición del eje Z1 y Y1(fig. 4.5), respecto de los cuales los momentos estáticos son iguales a cero. Para ello igualamos a cero las ecuaciones (4.5) y (5.5):
Si en Sz1=Sz-Yc∙F=0 y Sy1= Sy-Yc∙F=0
De donde: b=Yc=SzF igual a=Zc=SyF (6.5)
Centro de gravedad de la sección. Baricentro en el punto de intersección de los ejes centrales. Girando los ejes para demostrar que el momento estático respecto a cualquier ejeque pase por el centro de gravedad es igual a cero.
La fórmula (6.5) es utilizada para determinar las coordenadas del centro de gravedad de la sección.
Para los casos en que el centro de gravedad de la sección es conocido, y se pide determinar el momento estático de la sección respecto de los ejes y, z; (fig. 5.5). Conociendo (a0 y b0), las posiciones del centro de gravedad se pueden conocer losmomentos estáticos.
Sz=Yc∙F Sy=Zc∙F
(7.5)
Como ejemplo determinamos el centro de gravedad de la sección, mostrada en la fig. 6.5. Para esto, dividimos la sección en dos partes: el área rectangular F1=2a2 y el área del cuadrado F1= a2. Los centros de gravedad C1-C2 de estas partes, mostradas en la fig. 5.6.
Trazamos ejes ocasionales Y, Z, calculamos el momento estático de lasección respecto del eje Z:
Sz=SzF1+SzF2
En esta ecuación SzF1 y SzF2. Son los momentos estáticos de las partes de área F1 y F2 respecto al eje Z, son iguales [basado en la ecuación (7.5)]:
SzF1= YC1∙F1=a∙2a2=2a3 ; SzF2=Yc2∙F2=a2∙a2=a32
Por lo tanto:
Sz=2a3+a32=5a32
Y en base a la ecuación (6.5)
Yc=SzF=5a323a2=56a
Dónde: F=F1+F2=2a2+a2=3a2
Análogamente: Sy=SyF1+SyF2
Dónde:SyF1=Zc1∙F1=a2∙2a2=a3 ; SyF2=Zc2∙F2=32a∙a2=32a2
Por lo tanto:
Sy=a3+32a3=52a3 Zc=SyF=52a33a2=56a
Para el caso la sección se forma el cuadrado 1, 2, 3, 4 F1=4a2 y el cuadrado 2, 5, 6, 7 F2=a2 con respecto a los ejes y, z; mostrados en la figura 7.5
Sz=Sz=SzF1-SzF2=0-2Yc∙F2=-a2a2=-a32
(Aquí SzF1=0, ya que el eje Z pasa por el centro de gravedad C...