cardinalidad de conjuntos

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

1. CONCEPTO
Se atribuye el concepto de cardinalidad a Georg Cantor en 1874.
Inicialmente Cantor uso la cardinalidad para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo dados los conjuntos y , se dice que están relacionados puesto que hay una biyección entre ellos. Luego esto define una relación de equivalencia, y el cardinal sería una clase de equivalencia en larelación. Al analizar los conjuntos y , se dice que son diferentes pero de igual cardinalidad 4.
Así que una definición de cardinalidad seria:
“Sea un conjunto con un número Finito de elementos. La cardinalidad de A representada por o #, es igual al número de elementos en A
”

Mediante el trabajo con correspondencias uno a uno Cantor creó un concepto de conjunto infinito, el cual tiene todossus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales . Nombró el cardinal de . Además probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los impares) tienen cardinalidad , debido a que era posible establecer la relación biunívoca con .
1.1. CARDINALES FINITOS
Antes de hablar de esto es necesario precisar ciertas definiciones.

Definición 1:“El número cardinal de un conjunto A es un conjunto equipotente con
elegido en la clase de equivalencia de A”
De aquí en adelante se designara por card (A).
Definición 2:
Sea se llamará sección inicial o intervalo
inicial de .

Definición 3:
Un conjunto A es finito si es vacio ó si es equipotente a alguna sección inicial de.
Los cardinales finitos son el cardinal de la familia deconjuntos equipotentes con y los de todas las familias de equipotencia de cada uno de los subconjuntos propios de :




1.2. CARDINALES INFINITOS
Si el conjunto A no es finito, entonces A es infinito. A los cardinales de los conjuntos infinitos se les llama transfinitos.
Ejemplo de estos cardinales son:



1.2.1. EL HOTEL MÁS GRANDE DEL MUNDO
No podemos hablar de infinito sinmencionar la famosa Paradoja del hotel infinito. Esta explica de una manera comprensible hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por Cantor).
Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir:cuántas habitaciones tendría.

"— ¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?
—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.
—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería unhotel grande. —Y qué tal si alguien construyera uno con..."
Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Infinito más uno

Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto seencontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.
Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, porsupuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped...