Cargas Criticas

CARGAS CRÍTICAS
Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán variación alguna si seañade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la deflexión en el centro no varíe. Es estas condiciones, el momento flexionarte en el centro es:
M = H/2*(L/2) + P
y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,
M = (Pcr)*
Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empujelateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión , lo que incrementará M, con lo cual volverá aumentar y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo. Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir , etc., y la columna terminapor enderezarse por completo. Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada.
FORMULA DE EULER
En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica paracolumnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica:
M = EI(d2y/dx2)
Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.
Cuando unacolumna está sometida a una carga P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx espequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:
EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py
El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdocon el criterio de signos adoptado.
La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:
M(d2x/dx2) = -kx
para lo cual una solución generales:
x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))
de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:
y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))
Pandeo de columnas son los elementos estructurales largos y esbeltos, cargados axialmente en compresión. Si un elemento en compresión es relativamente esbelto, se puede flexionar lateralmente y fallar por flexión en vez de fallar por compresióndirecta del material. Cuando se tiene flexión lateral, decimos que la columna se pandeado. Ante una carga axial creciente, las deflexiones también aumentan y la columna termina por doblarse completamente.

Carga crítica la carga axial máxima que puede soportar una columna cuando esta apunto de pandearse se llama carga critica.
La deformación de la columna varia según ciertas magnitudes de cargas,...