Cartas en el asunto

Criterios de clasificación de una matriz simétrica: definida positiva (negativa), semidefinida positiva (negativa) o indefinida * . 1. Criterio de los autovalores. Teorema 1.1 Sea A  M nn  asociados, entonces 1. 2. 3. 4. 5.

 una matriz simétrica. Si  j ,


j  1, 2,..., n son los autovalores

A es definida positiva A es definida negativa A es semidefinida positiva A es semidefinidanegativa A es indefinida

 




 j  0, j  1, 2,..., n  j  0, j  1, 2,..., n  j  0, j  1, 2,..., n  j  0, j  1, 2,..., n  j0 , j1 :  j  0   j
0 1

Ejercicio 1.1 Clasifique las matrices de acuerdo con el criterio dado en el teorema 1.1

 2 1 A ,  1 3

 0 3 B ,  3 2 

 3 2 0  C   2 3 0  ,    0 0 5  

5 2 1 D  2 1 0   10 1   

2. Criterio de los menores principales y menores principales dominantes.

2.1 Menores principales de una matriz Definición 2.1.1 Sea A  M nn 

 . Una submatriz de A de orden k  k , formada a partir de la

eliminación de n  k columnas, digamos i1 , i2 ,..., ink y las mismas n  k filas i1 , i2 ,..., ink , es llamada la submatriz principal de A de orden k. El determinantede una submatriz principal de orden k  k es llamado un menor principal de A de orden k. Ejemplo 2.1.1 Para el caso de una matriz cuadrada de orden 3

 a11 a12 a13  A  a21 a22 a23    a31 a32 a33   
 Existe un menor principal de orden 3

a11 A  a21 a31
 Existen tres menores principales de orden 2

a12 a22 a32

a13 a23 a33

(1)

a11 a21

a12 a22

(eliminación de latercera fila y la tercera columna de A)

(2)

a11 a31
a22 a32

a13 (eliminación de la segunda fila y la segunda columna de A) a33
a23 a33
(eliminación de la primera fila y la primera columna de A).

(3) 

Existen tres menores principales de orden 1 (1) a11 (eliminación de las dos últimas filas y dos últimas columnas). (2) a22 (eliminación de la primera y tercera fila, y la primera ytercera columna). (3) a33 (eliminación de las dos primeras filas y columnas).

Ejercicio 2.1.1 Analice el caso de una matriz cuadrada de orden 4  4 .

2.2 Menores principales dominantes de una matriz Definición 2.2.1 Sea A  M nn 

A de orden k que se obtiene eliminando las últimas n  k filas y las últimas n  k columnas de A es llamada la submatriz principal dominante de A de orden k, yse donota por Ak . Los correspondientes determinantes
se denominan menores principales dominantes de A de orden k, denotándolos en este caso por

 . La submatriz principal de

Ak .
Si A  

 a11 a12   a21 a22 

a  a  A1   a11  , A2   11 12  (submatrices principales dominantes)  a21 a22  a a  A1  a11 , A2  11 12 (menores principales dominantes) a21 a22

 a11 a12a13    Si A  a21 a22 a23    a31 a32 a33     a11 a12 a13   a11 a12    , A3  a21 a22 a23 (submatrices principales dominantes) A1  a11 , A2     a21 a22    a31 a32 a33   

a11 a12 a13 a11 a12 , A3  a21 a22 a23 A1  a11 , A2  a21 a22 a31 a32 a33
Teorema 2.2.1 Sea A  M nn 

(menores principales dominantes)



una matriz simétrica.

1. A es definidapositiva, si y solamente si, todos los menores principales dominantes de A son positivos.

A1  0 A2  0 A3  0 ,…
2. A es definida negativa, si y solamente si, todos los menores principales dominantes de A alternan sus signos:

A1  0 ,

A2  0 ,

A3  0 ,…

3. Si algún menor principal dominante de A de k-ésimo orden (o algún par de ellos) no es cero, pero ninguno de ellos satisface los doscriterios anteriores (1, 2), entonces A es indefinida. Este caso ocurre cuando A tiene un menor principal dominante de k-ésimo orden negativo para un entero k par, o cuando A tiene un menor principal dominante de k-ésimo orden negativo y un menor principal dominante de l-ésimo orden positivo para dos números enteros e impares distintos k , l . ¿Qué sucede si un menor principal dominante (en el...