caso armonico

Líneas de Transmisión
Caso Armónico
A. Zozaya
12 de septiembre de 2007

1.

Introducción

Las soluciones de las ecuaciones de los telegrafistas en el domino complejo, de la línea de
transmisión sin pérdidas (γ = β), terminada en z = L en cierta impedancia de carga ZL,
son:
V (z) = V1 e−βz + V2 eβz
(V1 e

I(z) =

βz

− V2 e
ZC

−βz

(1)
)

(2)

Las Ecuaciones (1) y(2) representan las soluciones de régimen permanente de la línea.
Las ondas incidente y reflejada existen en todos los puntos de la línea contempóraneamente.
La onda reflejada eventualmente podría ser nula si ZL = Zc . En efecto, si se asume que
V2 = 0, al evaluar el cociente V (L)/I(L) se obtiene:
V1 e−βL
V (L)
=ZC
I(L)
V1 e−βL
ZL =ZC
Al contrario, si ZL = ZC
V (L)
V1 e−βL
=ZCI(L)
V1 e−βL
ZL =ZC
por tanto, en esta circunstancia, ambas ondas han de existir de modo que:
V1 e−βL + V2 eβL
V (L)
=ZC
I(L)
V1 e−βL − V2 eβL
V1 e−βL + V2 eβL
ZL =ZC
V1 e−βL − V2 eβL
donde el factor

V1 e−βL +V2 eβL
V1 e−βL −V2 eβL

garantiza que se cumpla la ley de Ohm en z = L.
1

(3)

2.

Coeficiente de reflexión

2.1.

Coeficiente de reflexión ΓL en la cargaEl coeficiente de reflexión en la carga se define como la razón de la onda reflejada a la
onda incidente en z = L:
V2 eβL
V1 e−βL
V2
= e2βL
V1
= |ΓL |eϕL

ΓL =

A su vez, como V (L)/I(L) = ZL sigue que:
ZL = Zc

V1 e−βL + V2 eβL
V1 e−βL − V2 eβL

de donde:
V2 eβL =

ZL
ZC
ZL
ZC

−1
+1

V1 e−βL

y
ZL
ZC
ZL
ZC

ΓL =

−1

(4)

+1

Haciendo uso dela Ec. (5) se han calculado los valores de ΓL para varias terminaciones.
En el Cuadro 1 se muestran estos resultados.
Cuadro 1: Coeficiente de reflexión para diversas terminaciones.
ZL
ΓL
|ΓL |
ϕL
Tipo de terminación
ZC
1 + 0
0 + 0
∞ + 0
2 + 0
1
+ 0
2
0 + 1
0 − 1
1
+ 0
n
n>1
n + 0
n>1

0
−1
1

0
1
1

1
3


−

1
3
1
3

indef.
π
0
0
π

1
1π
2
−π
2

resistiva (ZL = Zc )
corto circuito (ZL = 0)
circuito abierto (ZL = ∞)
resistiva (ZL = 2ZC )
resistiva ( ZL = ZC /2)
inductiva (ZL = ZC )
capacitiva (ZL = −ZC )

− n−1
n+1

n−1
n+1

π

resistiva (ZL = Zc /n)

n−1
n+1

n−1
n+1

0

resitiva (ZL = nZc )

−1
3

2

2.2.

Coeficiente de reflexión Γ(z) en el punto z de la línea

En un punto zgenérico de la línea se define el coeficiente de reflexión Γ(z):
Γ(z) =

V2 eβz
V1 e−βz

(5)

tomando en cuenta que z = L − d, donde d es la distancia del punto z considerado medida
desde la carga:
V2 eβ(L−d)
V1 e−β(L−d)
V2
= e2β(L−d)
V1
V2
= e2βL e−2βd
V1

Γ(z) =

ΓL

Γ(d) = ΓL e−2βd

(6)

Como el coeficiente de reflexión ΓL en la carga se puede transformar en un coeficientede
reflexión Γ(d) en d arbitrario, añadiendo una fase de 2βd a ΓL –Ec. (6)–, lo cual se logra,
a su vez, cortando la línea de transmisión a d metros de la carga, podemos concluir que
se pueden crear infinitos valores de impedancia (de entrada de la línea) cortando la línea
apropiadamente. Esta idea será desarrollada detalladamente en la siguiente sección.

3.

Impedancia de entrada de lalínea de transmisión

En virtud de que en el caso más general (ZL = ZC ), la amplitud del voltaje V (z), y por
ende la de la corriente I(z), varía a lo largo de la línea, es posible definir una impedacia
Z(z) para el punto z de la línea como la relación de V (z) a I(z). Esta impedancia se puede
interpretar como la impedancia equivalente que se mediría en z «mirando» hacia la carga,
por tanto, aleliminar el resto de la línea a la izquierda del punto z considerado, quedándonos
con el tramo de línea (a partir de z hasta L) conectado a la carga ZL , tiene sentido llamar
Z(z) «impedancia de entrada» de la línea. Z(z) vale
V (z)
V1 e−βz + V2 eβz
= ZC
I(z)
V1 e−βz − V2 eβz
ya que el punto z considerado se encuentra a d = L − z metros de la carga, tiene sentido
hacer el...