casos de factoreo

Casos de factoreo
X1;x2= -b +- rais b elvado al 2 -4ac sobre 2.a
Que es el binomio de newton y que relación tiene con factoreo.
BINOMIO DE NEWTON
 
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener 
 
Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)
 




 
Observando loscoeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
 

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, osea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.
 
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
 

 
Por ejemplo si quiero calcular 
 
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que laspotencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.
 
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
 

 
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
 

 
que también se puedeescribir de forma abreviada así: 



 


Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia 

 
La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1
Que serán los valores de los coeficientes.
 
2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:
(a2+3/b)100
 
El primer término tiene de coeficiente ,el segundo , el tercero , etc.
Por tanto el término de lugar 50 será:
= 98913082887808032681188722800. = 
 


En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de  es

Ejercicios
3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es:  ¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?
El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términosy vale: 
El binomio y su potencia será 
 
4) Hallar el término medio del desarrollo de 
Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.

Vamos a desarrollarlo: 
 
5) Escribe el término que contiene x31 en el desarrollo de: 
El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma: 
Veamoscomo quedan las potencias x y de y:  Dividiendo las potencias de la misma base, restando los exponentes tenemos: 
Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x31, basta igualar 40-3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.
Ahora escribimos el término completo. 


Ecuación de segundo grado

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