casos de factoreo

Casos de factoreos
Factor común:
EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).



TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Términos positivos)


x2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean"cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 



CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS




EJEMPLO 1: (Todos los términos sonpositivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".




DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9= (x + 3).(x - 3)

x     3 

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x        2 


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x +2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada paralas distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.

"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)


x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)


x1,2 = 

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 = x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)


Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hayotro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo. 

FACTOREO CON GAUSS / EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)


Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2 

Posibles raíces del...