Cataplá

Normas vectoriales y matriciales Condicionamiento de un sistema Transformaciones unitarias
Grado en Ingenier´ Inform´tica–Ingenier´ del Software ıa a ıa

1.

Normas vectoriales y matriciales

En numerosas ocasiones nos veremos en la necesidad de comparar dos vectores o dos matrices, en el sentido de cu´n parecidos son o lo “cerca” que est´n unos de otros. As´ por ejemplo, si a a ı, decimosque vε es una aproximaci´n del vector v, ¿qu´ queremos decir con esto? Intuitivamente o e podemos entenderlo pero, matem´ticamente, ¿c´mo podemos saber si la aproximaci´n es buena a o o o no? Para ello precisamos una herramienta que nos permita realizar dicha comparaci´n, y ´sta o e es la norma. Ejemplo 1 Para resolver el sistema Hx = b, donde 1 , i+j−1   1 . b = . . . 1

H = (hij ) ∈ M10,

hij =

Aplicando la eliminaci´n gaussiana con MatLab obtenemos o   −10  990     −23756     240206     −1261096   . x= 3783329     −6725978     7000563     −3937843  923697 Ahora bien, como H es sim´trica y definida positiva, podemos aplicar el m´todo de Cholesky: e e A = Rt R =⇒ Ax = b ⇐⇒ Rt Rx = b. Ejecutando la orden xchol=R\(R’\b) para resolver primero elsistema triangular inferior Rt y =

b y despu´s el triangular superior Rx = y, obtenemos e  −10,000552643  990,046671168   −23760,975740737   240248,733282110   −1261301,106040359 ˜  x=  3783891,708842503  −6726901,447328447   7001453,799723408   −3938310,526682076 923799,768128239

        .       

˜ N´tese que x = x, pero ¿cu´l de los resultados es“mejor”? Para saberlo, deberemos comparar o a ˜ Hx y H x con b, pero ¿c´mo? o Definici´n 1 Se dice que una aplicaci´n · : Rn → R es una norma sobre Rn si se satisfacen o o las siguientes propiedades: 1) x ≥ 0, para cualquier x ∈ Rn , y x = 0 ⇐⇒ x = 0. 2) λ x = |λ| x , para cualesquiera λ ∈ R y x ∈ Rn . 3) x + y ≤ x + y , cualesquiera que sean x, y ∈ Rn . El par (Rn , · ) se dice que es un espacio normado. Siel producto de dos elementos est´ definido en Rn , y a x·y ≤ x se dice que la norma es multiplicativa. y , para cualesquiera x, y ∈ Rn ,

1.1.

Normas vectoriales

  v1  v2    Para cualquier vector v =  .  ∈ Rn se definen las siguientes normas: . . vn
n

Norma 1: v

1

=
i=1

|vi |;
n 1/2

Norma 2 o eucl´ ıdea: v

2

=
i=1

|vi |

2

;

Norma infinito: m´x|vi |. a
1≤i≤n

Ejemplo 2 Para el vector x = (2, 3, 0, −12)t , tenemos que v = 2 + 3 + 0 + 12 = 17, √ √ v 2 = 22 + 32 + 02 + 122 = 157,
1 ∞

v

= | − 12| = 12. 2

Definici´n 2 Se define una distancia en Rn como una aplicaci´n d : Rn × Rn → R cumpliendo o o 1) d(x, y) ≥ 0, para cualesquiera x, y ∈ Rn , y d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. 2) d(x, y) = d(y, x), para cualesquiera x, y ∈ Rn . 3) d(x, y) ≤d(x, z) + d(z, y), cualesquiera que sean x, y, z ∈ Rn . Teorema 1 Si (Rn , · ) es un espacio normado, la norma · induce una distancia en Rn , que se conoce como distancia inducida por la norma · , y viene dada por d(x, y) = x − y .

1.2.

Convergencia en espacios normados

En la pr´xima pr´ctica estudiaremos los m´todos iterativos para la resoluci´n aproximada o a e o de un sistema lineal A x= b, consistentes en hallar una sucesi´n de vectores (xk ) que se o aproximan a la soluci´n exacta x. Pero, ¿qu´ significado tiene la convergencia de una sucesi´n o e o de vectores? Definici´n 3 Se dice que una sucesi´n de vectores (vk ) ⊂ Rn es convergente a un vector o o k v ∈ Rn , y escribiremos l´ vk = v, o bien vk −→ v, si ım
k→∞ k→∞

l´ ım vk − v = 0.

Ejemplo 3 Podemos afirmar que 

  1 + 2/k 1 k→∞ vk =  3 − 1/k  −→ v =  3  −1 + 100/k −1

ya que, para cualquier norma vectorial, es     2/k 0  −1/k  k→∞  0  = 0. vk − v = −→ 100/k 0

1.3.

Normas matriciales

El conjunto Mn,m [R] de las matrices de orden m × n con coeficientes reales es un espacio vectorial y, como tal, ¿podemos definir una norma sobre ´l, al igual que hemos hecho en Rn ? e Es decir,...