CAUCHY
Páginas: 2 (318 palabras)
Publicado: 9 de abril de 2015
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY
Carlos González Recio
1. Enunciado
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Sean f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b).Si f' y g' no se anulan simultáneamente, entonces existe tal que
Augustin Louis Cauchy
Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduceal teorema del valor medio de Lagrange.
2. Demostración
Sea G(x) una función definida como:
Donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Sepuede observar por simple inspección que G ( ) a =0 y G (b) =0.
Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) seobtiene:
y sabiendo que G'(c) es 0
de donde se deduce que
Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:
Q.E.D.
3.Consecuencias
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:
muy usada en análisis matemático para elcálculo de límites de la forma de ó.
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
El valor del primer miembro esconstante:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de latangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominarteorema del valor medio generalizado.
Fuentes:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio_de_Cauchy
http://ucecuarto.wikispaces.com/file/view/CAUCHY.docx
Carlos González Recio
1. Enunciado
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Sean f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b).Si f' y g' no se anulan simultáneamente, entonces existe tal que
Augustin Louis Cauchy
Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduceal teorema del valor medio de Lagrange.
2. Demostración
Sea G(x) una función definida como:
Donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Sepuede observar por simple inspección que G ( ) a =0 y G (b) =0.
Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) seobtiene:
y sabiendo que G'(c) es 0
de donde se deduce que
Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:
Q.E.D.
3.Consecuencias
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:
muy usada en análisis matemático para elcálculo de límites de la forma de ó.
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
El valor del primer miembro esconstante:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de latangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominarteorema del valor medio generalizado.
Fuentes:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio_de_Cauchy
http://ucecuarto.wikispaces.com/file/view/CAUCHY.docx
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