ecuacion de cauchy
Páginas: 3 (512 palabras)
Publicado: 2 de agosto de 2013
LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicasy exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamadatambién ecuación Equidimensional tiene la forma
Donde, los coeficientes an,an-1,…,a2,a1,a0,-1 son constantes reales.
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de laspotencias coincide con el orden de la diferenciación, .
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Consideramos una ecuación diferencial de Cauchy_Euler de segundo orden y suponemos una solución de la forma donde serádeterminada en procedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes.
Cuando se sustituye , cada término de una ecuación de Cauchy-Eulerse convierte en un polinomio en m multiplicado por
La primera y segunda derivadas son, respectivamente:
Y en consecuencia
Así, es una solución de la ecuación diferencial siempre que msea una solución de la ecuación auxiliar (homogénea asociada)
am(m-l)+bm+c=0 o am2+(b-a)m+c=0. (1)
Hay tres casos distintos por considerar, en función de si las raíces deesta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales de (l), con m1 ≠ m2. Entonces yforman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
(2)
CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si ml = m2), solollegaremos a una solución, que es . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b - a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula...
LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicasy exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamadatambién ecuación Equidimensional tiene la forma
Donde, los coeficientes an,an-1,…,a2,a1,a0,-1 son constantes reales.
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de laspotencias coincide con el orden de la diferenciación, .
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Consideramos una ecuación diferencial de Cauchy_Euler de segundo orden y suponemos una solución de la forma donde serádeterminada en procedimiento similar a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes.
Cuando se sustituye , cada término de una ecuación de Cauchy-Eulerse convierte en un polinomio en m multiplicado por
La primera y segunda derivadas son, respectivamente:
Y en consecuencia
Así, es una solución de la ecuación diferencial siempre que msea una solución de la ecuación auxiliar (homogénea asociada)
am(m-l)+bm+c=0 o am2+(b-a)m+c=0. (1)
Hay tres casos distintos por considerar, en función de si las raíces deesta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales de (l), con m1 ≠ m2. Entonces yforman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución general es:
(2)
CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si ml = m2), solollegaremos a una solución, que es . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b - a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula...
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