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REGRESIÓN LINEAL

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
El comportamiento de una magnitud económica puede ser
explicada a través de otra

Y = F(X )
Si se considera que la relación puede ser de tipo lineal, la
formalización vendría determinada por una ecuación como la
siguiente

Y = β1 + β 2 X

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
Dado que las relaciones en la ciencias socialesno son exactas se
incluye el término de pertubación aleatoria

Y = β1 + β 2 X + U
Supongamos que se dispone de T observaciones de las
variable Y y X

Y1 = β1 + β 2 X 1 + u1
Y2 = β1 + β 2 X 2 + u 2

………………………………

Yn = β1 + β 2 X n + un

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
De forma abreviada el sistema de ecuaciones se puede escribir
de la siguiente manera

Yt = β1 + β 2 X t +U t
t = 1, 2, 3…………….,T.

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
El objetivo del análisis de regresión es la estimación de los
parámetros.
El primer paso es la representación gráfica de las variables (y,x)
en un diagrama de dispersión
Relación Lineal Exacta

Relación Lineal Exacta
14

12

12

10

10

8

8

Y

Y

14

6

6

4

4

2

2
0

0
0

2

46
X

8

10

0

2

4

6
X

8

10

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
Dado que la relación de dependencia entre ambas variables es
aleatoria o estocástica, las observaciones no se encontrarán a lo
largo de una recta
Regresion Lineal Simple

La estimación de los
parámetros
supone
encontrar la ordenada en
el origen y la pendiente
de una recta que mejor
se aproximea los puntos

18
16
14

Y

12
10
8
6
4
2
0
0

2

4

6
X

8

10

Regresión Lineal Simple
Planteamiento
Recta de Regresión Especificada

Yt = β 1 + β 2 X t + U t
Recta de Regresión Estimada

Yˆt = βˆ1 + βˆ 2 X t
Errores o residuos

uˆ t = Yt − Yˆt = βˆ1 − βˆ 2 X t

Regresión Lineal Simple
Criterios de Ajuste
a) La suma de todos los residuos sean próximasa cero
T

Minimizar

∑ uˆ
t =1

t

b) La suma de todos los residuos en términos absolutos sean próximas
a cero
Minimizar

∑

n
t =1

uˆ t

c) La suma de todos los residuos elevados al cuadrado sean próximas a
cero
Minimizar

n

2
ˆ
u
∑ t =1 t

Regresión Lineal Simple
Obtención de los estimadores
Los estimadores se obtienen aplicando el criterio de minimización dela suma cuadrática de los errores

∑

n

uˆ =

2
t
t =1

n

S =∑
t =1

(

Yt − Yˆt

) =∑ (Y − βˆ − βˆ X )
2

n

t =1

2

t

1

2

t

Para minimizar S se derivará la función respecto de cada uno de los parámetros
n
∂S
= −2∑ (Yt − βˆ1 − βˆ 2 X t ) = 0
∂βˆ
t =1
1

n
∂S
= −2∑ (Yt − βˆ1 − βˆ 2 X t )X t = 0
∂βˆ
t =1
2

Regresión Lineal
Obtención delos estimadores
Operando y reagrupando términos se obtendría, la expresión analítica de los estimadores mínimo-cuadráticos de la
regresión lineal simple:

βˆ1 = Y − βˆ2 X

Cov (Y , X )
ˆ
β2 =
var( X )

En el caso de un modelo de regresión lineal múltiple, las expresiones anteriores se transformarían del siguiente modo:

βˆ1 = Y − βˆ 2 X 2 − βˆ3 X 3

Cov (Y , X 2 ) − βˆ3 Cov ( X 2 ,X 3 )
ˆ
β2 =
var( X 2 )

Cov (Y , X 3 ) − βˆ2Cov( X 3 , X 2 )
ˆ
β3 =
var( X 3 )

Modelo Lineal Básico
Hipótesis

Forma funcional
Sobre la perturbación Aleatoria
Sobre las variables independientes
Sobre el vector de parámetros

Modelo Lineal Básico
Hipótesis
Forma funcional
Yt = βˆ1 + βˆ2 X 2 t + βˆ3 X 3t + βˆ4 X 4 t + LLL + βˆk X kt + ut
a) La relación entre la variabledependiente y las variables
independientes es tipo lineal. La incorporación del término de
perturbación aleatoria de forma aditiva, garantiza a su vez la relación
lineal con el resto de elementos

Modelo Lineal Básico
Hipótesis
Sobre la perturbación aleatoria
a) La perturbación aleatoria es una variable aleatoria no observable
La perturbación aleatoria representa el conjunto de variables...