CE13 201402 TALLER 4 sol

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (EPE)

CÁLCULO 1 EPE (CE13)
Solucionario del Taller Presencial Nº 4
Ciclo 2014-2
Coordinador del curso: Rubén Alva (pcmaralv@upc.edu.pe)
1. Efectúe las siguientes integrales indefinidas:
a)

d)

∫

(8 x

∫

(e

x

3

)

− 5 x 2 − 1 dx

)

+ e 2 x − e − x dx

b)

∫

e)

∫

 5x 4 + 6 x − x 

 dx


x2



x − sen 3 x ) dx

c)

∫

 5x 1

 e − + ln x dx
x



d)

∫(

(cos

2 − sen 2 x ) dx

Resolución
Efectuamos los cálculos de las integrales mediante las propiedades de integración.
a)

∫(

)

∫

=8

b)

∫

8 x 3 − 5 x 2 − 1 dx = 8 x 3 dx − 5 x 2 dx −

∫(

cos x − sen 3 x ) dx =

∫

∫

dx

x4
x3
−5
−x+C
4
3
cos x dx −

= sen x −

c)

∫

 5x 4 + 6 x − x 

 dx =


x2


=

∫
∫

∫

5 x dx +
2

∫ ∫
∫ ∫
6x
dx −
x2

6
dx −
x
−

x

−

x
x
32

2

∫(

)

e x + e 2 x − e − x dx =

∫

e x dx +

= ex +

EPE INGENIERÍA

∫

⇒

∫

(cos x − sen 3x ) dx = sen x + cos 3x + C

3

)

− 5 x 2 − 1 dx = 2 x 4 −

5x 3
− x+C
3

e2x e−x
−
+C
2
−1

dx

1

e 2 x dx −

∫

3

dx

x3
x 2
=5
+ 6 ln x −
+C ⇒
1
3
−
2

d)

∫

(8x

sen 3x dx

− cos 3x
+C
3
5x 4
dx +
x2

⇒

∫

1
−
 5x 4 + 6 x − x 
5x 3

 dx =
+ 6 ln x + 2 x 2 + C
2


3
x



e − x dx

⇒∫

(e

x

)

+ e 2 x − e − x dx = e x +

e 2x
+ e −x + C
2

1

e)

∫

 5x 1

 e − + ln x  dx =
x



∫

e 5 x dx −

∫

1
dx +
x

∫

ln x dx

⇒

f)

∫

(2 − sen 2 x ) dx = 2

∫ ∫
dx −

∫

e5x
 5x 1

e
−
+
ln
x
dx
=
− ln x + x ln x + C


x
5



∫

⇒

sen 2 x dx

(2 − sen 2 x ) dx = 2 x + cos 2 x + C
2

2. Determine la antiderivada F de f que satisfaga la condición dada.
a) f ( x) = 4 x 3 −3 x 5 ; F (0) = 7
b) f ( x) = 2 x 2 + x + 1; F (1) = 2
Resolución
a) Para determinar la antiderivada F de f tal que tal que f ( x) = 4 x 3 − 3 x 5 ; F (0) = 7 consideremos que

F ' ( x) = f ( x) de lo que se obtiene que F ( x) =
⇒ F ( x) =

∫
∫(

f ( x ) dx

)

4 x 3 − 3 x 5 dx

⇒ F ( x) = x 4 −

x6
+C
2
x6
+7
2

luego, si F (0) = 7 se obtiene que C=7, finalmente F ( x) = x 4 −

b) De la mismamanera, para determinar la antiderivada F de f tal que tal que

f ( x) = 2 x 2 + x + 1; F (1) = 2

∫
∫(

consideremos que F ' ( x) = f ( x) de lo que se obtiene que F ( x ) =
⇒ F ( x) =

⇒ F ( x) =
luego, si F (1) = 2 se obtiene que C = −1 / 7 , finalmente F ( x) =

EPE INGENIERÍA

f ( x ) dx

)

2 x 2 + x + 1 dx

2x3 x 2
+ + x+C
3
2
2x3 x 2
1
+
+x− .
3
2
6

2

3. Determine el valor de lassiguientes integrales definidas, luego verifique sus respuestas con ayuda de una
calculadora.

∫

a)

1

(x − 1)(x + 1)(x

2

)

+ 1 dx

b)

−1

∫

7

5

2
dx
x−4

c)

∫

1

(3e

2x

)

− 1 dx

0

Resolución
Determinaremos el valor de cada integral definida mediante las propiedades de integración y luego su
respectiva evaluación

a)

1

1

∫

(x − 1)(x + 1)(x 2 + 1)dx =

∫

1

∫

(x − 1)(x + 1)(x 2 + 1)dx= −1,6

−1

∫

(x

4

)

− 1 dx

−1

(

1

)

 x5

8
1   − 1

⇒ ( x − 1)(x + 1) x + 1 dx =  − x  =  − 1 −  − (−1) = − = −1,6
5

5
 −1  5   5
−1
⇒

2

1

−1

∫

b)

7

5

⇒

∫

7

2
7
dx = [2 ln( x − 4)]5
x−4
2
dx = [2 ln(3)] − [2 ln(1)] = 2 ln(3) − 0 = 2,2
x−4

5

1

∫(

c)

3e

2x

0

1

⇒

∫(

3e

2x

0

)

⇒

∫

7

5

2
dx = 2,2
x−4

1

 3e 2 x

− 1 dx = 
− x
 2
0

)

2 3e 2
 3
5
 3e
− 1 dx = 
− 1 −  − 0 =
− = 8,6
2
2

 2
 2

1

⇒

∫(

)

3e 2 x − 1 dx = 8,6

0

4. Una partícula se mueve en línea recta con aceleración a (t ) = 2 m / s 2 . Determine la posición para
cualquier tiempo t, si se sabe que su velocidad v (t ) en t = 5 s es 16 m / s y su posición s (t ) en t = 2 s
es 20 m .
Resolución
Sabemos que v ' (t ) = a (t ) ⇒ v (t ) =
⇒ v (t ) =

∫

∫a (t ) dt

2dt ⇒ v (t ) = 2t + C1

de la condición “ v (t ) en t = 5 s es 16 m / s ” se tiene que v (5) = 16

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3

⇒ 10 + C1 = 16 lo que implica que C1 = 6
luego se obtiene que la velocidad está dada por v (t ) = 2t + 6 .
Sabemos que s ' (t ) = v (t ) ⇒ s (t ) =
⇒ s (t ) =

∫

∫

v (t ) dt

(2t + 6 ) dt ⇒ s(t ) = t 2 + 6t + C2

de la condición “su posición s (t ) en t = 2 s es...