cementos

Ecuaciones de orden superior
Para las EDs de n-ésimo orden de la forma

(n)
y +

P
n−1

(n−1)
(x)y ++

P(x)y′+P
1 0

(x)y= f (x)

tomamos yp = u1y1 + u2y2 + … + unyn, donde yi , i = 1, 2, …, n, son

la familia de soluciones independientes que forman yc. Así:



Suposiciones
para simplificar

y u′
1
y u′

+ y u′ + + y un = 0
2
+ y′u′ ++ y u = 01
la EDO:

(n−1)

n n

(n−1) (n−1)

y u′ +

y u′ ++

y u′n= f (x)

1 2 n
Que nos lleva a las ecuaciones solución uk’ = Wk/W con k = 1, 2, …, n.
Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se
obtiene de sustituir en W la k-ésima columna por (0, 0,..., f(x)).
64

Ecuación de Cauchy-Euler

Forma de ecuación de Cauchy-Euler


n
anxdny
+ a x

n−1
d y
n−1
++


dy
a x + a y= g(x)

n n−1 n−1 1 0

dx dx dx
• Método de solución

Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, para
resolver la ecuación homogénea asociada: Observa que:
k

k
a x

d y k
= a x

m(m−1)(m

− 2)(m−k+ 1)x −k

k k
dx

k
m
=a m(m −1)(m − 2)(m − k +1)x

k

(a m(m−1)(m−2)(m−n+1)+...+a

mm+a )x = 0

n 1

0 65



Ecuación auxiliar


ax

2
2 d
dx

y
2

dy
+bx +cy = g(x)
dx

Para n = 2, y = xm, tenemos
(am(m - 1) + bm + c)xm = 0, o
am2 + (b - a)m + c = 0
Caso 1: Raíces reales y distintas
m m

Observa que
tenemos que ax2 es igual a cero en x = 0. Para
asegurar
existencia y
unicidad,
tomaremos
I = (0, ∞).

y=c x

1 2
+c x1 2

Resolver
Solución:

2
2 d
x
dx

y
2

dy
−2x −4y= 0
dx

Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4

m2 - 3m - 4 = 0, m = -1, 4,

y = c1x-1 + c2x4



66


Caso 2: Raíces reales repetidas


• Dedujimos
Luego


m1
y2= x
m
1


lnx
m
1

y =c1x +c2x lnx


Resolver 4x
Solución:



2
2 d y
2
dx


dy
+8x +y= 0
dx

Tenemosa = 4, b = 8, c = 1

4m2 + 4m + 1 = 0, m = -½ , -½

−1/2 /2

y = c1x + −c2x
67


Caso 3: Raíces complejas conjugadas
• Orden superior: multiplicidad k







m
1
, x

m
1
ln x , x

m
1
(ln x)

2
,, x

m k−1
1
(ln x)

• Caso 3: raíces complejas conjugadas
m1 = α + iβ, m2 = α - iβ,
y = C1x(α + iβ) + C2x(α - iβ)
Como
xiβ = (eln x)iβ = eiβln x = cos(β ln x) + i sen(β ln x)
x-iβ = cos (β ln x) - i sen (β ln x)
Luego
y = c1xα cos(β ln x) + c2xα sen(β ln x)
= xα [c1 cos(β ln x) + c2 sen(β ln x)]
68



2
Resolver 4x y′′+17y =
Solución:
Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17

0, y(1) =−1, y'(1) =−

1
2

4m2 − 4m + 17 = 0, m = ½ + 2i

1/2
y=x c1cos(2lnx

+c x) sin(2ln )]

2
Aplicando y(1) = -1,y’(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,
1/2
y=−x cos(2 lnx)















69



Resolver
Solución:


3
x

3
d y
3
dx

2
d y
2
+5x
2
dx

dy
+7x +8y= 0
dx

Sea y = xm,

2

dy
= mx
dx
3
d y

m−1


d y
2
dx

m−2
= m(m−1)x ,

m−3

3
dx

= m(m−1)(m−2)x

Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0
m = -2, m = 2i, m =-2i
y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)

70



Resolver
Solución:

x
x2y"−3xy'+3y =2x4e

Tenemos (m - 1)(m - 3) = 0, m = 1, 3
yc = c1x + c2x3
Usando variación de parámetros,

yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3

Escribimos la ED como


y′′− y′+



2



x
y = 2x2e

Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex



71



AsíW

W
1

=

=

3
x x
2
1 3x
0
x
2x2e


3
= 2x ,

3
x
=−2x5e
2
3x






x
, W =
2




x 0
x
= 2x3e
x
1 2x2e

Hallamos
u′ =−

5 x
2x e
=−x


2 x
e , u =

x
2x5e x
= e

2 x x

3
2x
x
u

2 3
2x
x
=e

u
1
y

=−x e +
=

2xe −2e ,
= (−x2e

2
x x
+2xe −2e

x x 3
)x+e x

p 1y1+ u2y2
x
=...