CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con X1 y Y1 las del segundo elemento se representan con X2 y Y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, conAW,, AW2, . . ., AW„. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de es­ ta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos:
∑f: W= ∆W1 + W∆2+………+ W∆n.
para obtener las coordenadas X y Y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes Y y X son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es
∑Mᵪ: ᵪW= X1∆+x2∆+…+x∆n.
∑Mᵧ: ᵧW= Y1∆+y2∆+…+y∆n.
Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa ysimultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:
W = ʃ dW xW = ʃ x dW yW = ʃ y dW
Estas ecuaciones definen el peso VV y las coordenadas X y Y del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy Se observa que usual mente el centro de gravedadG de un alambre no está localizado sobre este último.


EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES
En la sección 4.1 se explicó que, para el caso general de tres dimensio­nes, se requieren seis ecuaciones escalares para expresar las condicio­nes de equilibrio de un cuerpo rígido:
∑fᵪ=0 ∑fᵧ=0 ∑fᴢ=0 (4.2)
∑Mᵪ=0 ∑Mᵧ=0 ∑Mᴢ=0(4.3)
Estas ecuaciones pueden resolverse para un máximo de seis incógnitas que, generalmente, representarán reacciones en los apoyos o las cone­xiones. En la mayor parte de los problemas, las ecuaciones escalares (4.2) y (4.3) se obtendrán de modo más práctico si primero se expresan en forma vectorial las condiciones para el equilibrio del cuerpo rígido con­siderado. Para ello se escribe
2FX= 0 SFy= 0 2F. = 0 2 Mx= 0 2 My = 0 2 M z= 0
2F = 0 2M0 = 2(r xF)=0 (4.1)
y se expresan las fuerzas F y los vectores de posición r en términos de componentes escalares y vectores unitarios. Después, se calculan todos los productos vectoriales, ya sea mediante cálculo directo o con deter­minantes (vea la sección 3.8). Se observa que a través de una selección cuidadosa del punto O se pueden eliminar de loscálculos hasta tres com­ponentes desconocidas de las reacciones. Al igualar a cero los coeficien­tes de los vectores unitarios en cada una de las dos relaciones obtienen las ecuaciones escalares deseadas.

REACCIONES EN PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES PARA UNA ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL
En una estructura tridimensional, las reacciones abarcan desde una so­ la fuerza de dirección conocida, queejerce una superficie sin fricción, hasta un sistema fuerza-par ejercido por un apoyo fijo. Por tanto, en los problemas que involucran el equilibrio de una estructura tridimensional pueden existir entre una y seis incógnitas asociadas con la reacción co­rrespondiente a cada apoyo o conexión. En la figura 4.10 se muestran varios tipos de apoyos y conexiones con sus respectivas reacciones. Una formasencilla de determinar tanto el tipo de reacción correspondiente a un apoyo o conexión dado, como el número de incógnitas involucradas, consiste en establecer cuáles de los seis movimientos fundamentales.










F3, . . ., y F¡, FJ, F:; , . . . , que actúan sobre el mismo cuerpo rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas de, los momentos con...